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7

함수에 대한 다항식 근사

7.1 서론

다항식은 해석학에서 등장하는 가장 단순한 함수 중 하나입니다. 수치 계산에서 다항식은 유한한 수의 곱셈과 덧셈만으로 그 값을 구할 수 있어 작업하기 편리합니다. 6장에서는 로그 함수를 원하는 정확도로 계산할 수 있게 해주는 다항식으로 근사할 수 있음을 보였습니다. 이번 장에서는 지수 함수와 삼각 함수를 비롯한 많은 다른 함수들도 다항식으로 근사할 수 있음을 보일 것입니다. 만약 함수와 그 다항식 근사 사이의 차이가 충분히 작다면, 실제 목적상 원래 함수 대신 다항식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
주어진 함수 f f ff 를 다항식으로 근사하는 방법은 근사의 용도에 따라 다양합니다. 이번 장에서는 주어진 점에서 f f ff 와 그 도함수들 중 일부와 일치하는 다항식을 구하는 데 관심을 둘 것입니다. 간단한 예로 논의를 시작해 보겠습니다.
f f ff 가 지수 함수 f ( x ) = e x f ( x ) = e x f(x)=e^(x)f(x)=e^{x} 라고 가정하자. 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 함수 f f ff 와 그 모든 도함수들은 값 1을 가진다. 일차 다항식
g ( x ) = 1 + x g ( x ) = 1 + x g(x)=1+xg(x)=1+x
또한 g ( 0 ) = 1 g ( 0 ) = 1 g(0)=1g(0)=1 와 g ′ ( 0 ) = 1 g ′ ( 0 ) = 1 g^(')(0)=1g^{\prime}(0)=1 을 가지므로, 이는 f f ff 와 그 첫 번째 도함수와 0에서 일치한다. 기하학적으로 이는 g g gg 의 그래프가 그림 7.1에서 보이는 바와 같이 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 에서 f f ff 의 접선임을 의미한다.
만약 우리가 f f ff 를 f f ff 와 그 첫 두 도함수와 0에서 일치하는 이차 다항식 Q Q QQ 로 근사한다면, 적어도 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 근처에서는 일차 함수 g g gg 보다 더 나은 f f ff 의 근사값을 기대할 수 있다. 다항식
Q ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 Q ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 Q(x)=1+x+(1)/(2)x^(2)Q(x)=1+x+\frac{1}{2} x^{2}
은 Q ( 0 ) = Q ′ ( 0 ) = 1 Q ( 0 ) = Q ′ ( 0 ) = 1 Q(0)=Q^(')(0)=1Q(0)=Q^{\prime}(0)=1 와 Q ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 1 Q ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 1 Q^('')(0)=f^('')(0)=1Q^{\prime \prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=1 을 가진다. 그림 7.1은 Q Q QQ 의 그래프가 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 근처에서 직선 y = 1 + x y = 1 + x y=1+xy=1+x 보다 곡선 y = e x y = e x y=e^(x)y=e^{x} 에 더 가깝게 근사함을 보여준다. 우리는 f f ff 와 세 번째 및 더 높은 도함수에서도 일치하는 다항식을 사용하여 근사의 정확도를 더욱 향상시킬 수 있다. 이 다항식이
P ( x ) = ∑ k = 0 n x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! P ( x ) = ∑ k = 0 n   x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! P(x)=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(k!)=1+x+(x^(2))/(2!)+cdots+(x^(n))/(n!)P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}
그림 7.1 점 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 근처에서 곡선 y = e x y = e x y=e^(x)y=e^{x} 에 대한 다항식 근사
이 다항식은 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 지수 함수와 그 첫 n n nn 개의 도함수와 일치합니다. 물론, 이러한 다항식을 사용하여 지수 함수의 근사값을 계산하기 전에는 근사 과정에서 발생하는 오차에 대한 정보가 필요합니다. 이 특정 예제를 더 자세히 논의하기보다는, 이제 일반적인 이론으로 넘어가겠습니다.

7.2 함수에 의해 생성된 테일러 다항식

f f ff 가 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 n n nn 차까지의 도함수를 가지고 있다고 가정합시다(여기서 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 임). 그리고 f f ff 와 그 첫 n n nn 개의 도함수가 0에서 일치하는 다항식 P P PP 를 찾아보려고 합니다. 충족해야 할 n + 1 n + 1 n+1n+1 개의 조건이 있습니다. 즉,
P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) P(0)=f(0),quadP^(')(0)=f^(')(0),quad dots,quadP^((n))(0)=f^((n))(0)P(0)=f(0), \quad P^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), \quad \ldots, \quad P^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)
따라서 우리는 차수가 n n nn 인 다항식을 시도해 보겠습니다.
P ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n P ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n P(x)=c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+cdots+c_(n)x^(n)P(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}
n + 1 n + 1 n+1n+1 개의 계수를 결정해야 합니다. 우리는 (7.2)의 조건들을 사용하여 이 계수들을 차례로 결정할 것입니다.
먼저, (7.3)에 x = 0 x = 0 x=0x=0 을 대입하면 P ( 0 ) = c 0 P ( 0 ) = c 0 P(0)=c_(0)P(0)=c_{0} 을 얻으므로 c 0 = f ( 0 ) c 0 = f ( 0 ) c_(0)=f(0)c_{0}=f(0) 입니다. 다음으로, (7.3)의 양변을 미분한 후 다시 x = 0 x = 0 x=0x=0 을 대입하여 P ′ ( 0 ) = c 1 P ′ ( 0 ) = c 1 P^(')(0)=c_(1)P^{\prime}(0)=c_{1} 을 구합니다. 따라서 c 1 = f ′ ( 0 ) c 1 = f ′ ( 0 ) c_(1)=f^(')(0)c_{1}=f^{\prime}(0) 입니다.
(7.3)을 다시 미분하고 x = 0 x = 0 x=0x=0 을 대입하면 P ′ ′ ( 0 ) = 2 c 2 P ′ ′ ( 0 ) = 2 c 2 P^('')(0)=2c_(2)P^{\prime \prime}(0)=2 c_{2} 을 얻으므로 c 2 = f ′ ′ ( 0 ) / 2 c 2 = f ′ ′ ( 0 ) / 2 c_(2)=f^('')(0)//2c_{2}=f^{\prime \prime}(0) / 2 입니다. k k kk 번 미분한 후에는 P ( k ) ( 0 ) = k ! c k P ( k ) ( 0 ) = k ! c k P^((k))(0)=k!c_(k)P^{(k)}(0)=k!c_{k} 을 발견하게 되며, 이는 우리에게 공식을 제공합니다.
c k = f ( k ) ( 0 ) k ! c k = f ( k ) ( 0 ) k ! c_(k)=(f^((k))(0))/(k!)c_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}
k = 0 , 1 , 2 , … , n k = 0 , 1 , 2 , … , n k=0,1,2,dots,nk=0,1,2, \ldots, n 에 대해. [ k = 0 k = 0 k=0k=0 일 때, f ( 0 ) ( 0 ) f ( 0 ) ( 0 ) f^((0))(0)f^{(0)}(0) 는 f ( 0 ) f ( 0 ) f(0)f(0) 을 의미한다고 해석한다.] 이 논증은 (7.2)를 만족하는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식이 존재한다면, 그 계수들은 반드시 (7.4)로 주어져야 함을 증명한다. ( P P PP 의 차수는 f ( n ) ( 0 ) ≠ 0 f ( n ) ( 0 ) ≠ 0 f^((n))(0)!=0f^{(n)}(0) \neq 0 일 때만 n n nn 과 같다.) 역으로, (7.4)로 주어진 계수를 가진 다항식 P P PP 이 (7.2)를 만족함을 쉽게 확인할 수 있으며, 따라서 다음 정리를 얻는다.
정리 7.1. f f ff 를 점 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 n n nn 차까지의 도함수를 가진 함수라고 하자. 그러면 n + 1 n + 1 n+1n+1 개의 조건을 만족하는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식 P P PP 이 유일하게 존재한다.
P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) . P ( 0 ) = f ( 0 ) , P ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , … , P ( n ) ( 0 ) = f ( n ) ( 0 ) . P(0)=f(0),quadP^(')(0)=f^(')(0),quad dots,quadP^((n))(0)=f^((n))(0).P(0)=f(0), \quad P^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), \quad \ldots, \quad P^{(n)}(0)=f^{(n)}(0) .
이 다항식은 다음 공식으로 주어진다
P ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k . P ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( 0 ) k ! x k . P(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(0))/(k!)x^(k).P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k} .
같은 방식으로, x = a x = a x=ax=a 에서 f f ff 와 그 첫 n n nn 개의 도함수와 일치하는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 사실, (7.3) 대신 x − a x − a x-ax-a 의 거듭제곱으로 P P PP 를 쓸 수 있으며, 앞서와 같은 방법을 적용할 수 있다. 도함수들을 0 대신 a a aa 에서 평가하면, 우리는 다음 다항식에 도달한다.
P ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . P ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . P(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k).P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} .
이는 ≤ n ≤ n <= n\leq n 차 다항식 중 유일하게 주어진 조건들을 만족하는 것이다.
P ( a ) = f ( a ) , P ′ ( a ) = f ′ ( a ) , … , P ( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) , P ( a ) = f ( a ) , P ′ ( a ) = f ′ ( a ) , … , P ( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) , P(a)=f(a),quadP^(')(a)=f^(')(a),quad dots,quadP^((n))(a)=f^((n))(a),P(a)=f(a), \quad P^{\prime}(a)=f^{\prime}(a), \quad \ldots, \quad P^{(n)}(a)=f^{(n)}(a),
그리고 이것은 영국의 수학자 브룩 테일러(Brook Taylor, 1685-1731)를 기리기 위해 테일러 다항식이라고 불립니다. 더 정확하게 말하면, 식 (7.5)의 다항식은 점 a a aa 에서 f f ff 에 의해 생성된 차수 n n nn 의 테일러 다항식이라고 말합니다.
테일러 다항식 P P PP 이 f f ff 과 n n nn 에 의존한다는 것을 나타내는 표기법이 있으면 편리합니다. 우리는 이 의존성을 P = T n f P = T n f P=T_(n)fP=T_{n} f 또는 P = T n ( f ) P = T n ( f ) P=T_(n)(f)P=T_{n}(f) 라고 써서 나타낼 것입니다. 기호 T n T n T_(n)T_{n} 는 차수 n n nn 의 테일러 연산자라고 불립니다. 이 연산자가 함수 f f ff 에 적용되면, 새로운 함수 T n f T n f T_(n)fT_{n} f 인 차수 n n nn 의 테일러 다항식이 생성됩니다. 이 함수의 x x xx 에서의 값은 T n f ( x ) T n f ( x ) T_(n)f(x)T_{n} f(x) 또는 T n [ f ( x ) ] T n [ f ( x ) ] T_(n)[f(x)]T_{n}[f(x)] 로 표기됩니다. 만약 a a aa 에 대한 의존성도 나타내고 싶다면, T n f ( x ) T n f ( x ) T_(n)f(x)T_{n} f(x) 대신 T n f ( x ; a ) T n f ( x ; a ) T_(n)f(x;a)T_{n} f(x ; a) 라고 씁니다.
예제 1. f f ff 이 지수 함수인 경우, 즉 f ( x ) = E ( x ) = e x f ( x ) = E ( x ) = e x f(x)=E(x)=e^(x)f(x)=E(x)=e^{x} 인 경우, 모든 k k kk 에 대해 E ( k ) ( x ) = e x E ( k ) ( x ) = e x E^((k))(x)=e^(x)E^{(k)}(x)=e^{x} 이므로 E ( k ) ( 0 ) = e 0 = 1 E ( k ) ( 0 ) = e 0 = 1 E^((k))(0)=e^(0)=1E^{(k)}(0)=e^{0}=1 이며, 0에서 E E EE 에 의해 생성된 차수 n n nn 의 테일러 다항식은
다음 공식으로 주어집니다.
T n E ( x ) = T n ( e x ) = ∑ k = 0 n x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! . T n E ( x ) = T n e x = ∑ k = 0 n   x k k ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! . T_(n)E(x)=T_(n)(e^(x))=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(k!)=1+x+(x^(2))/(2!)+cdots+(x^(n))/(n!).T_{n} E(x)=T_{n}\left(e^{x}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} .
E E EE 와 그 도함수들이 점 a = 1 a = 1 a=1a=1 에서 일치하는 다항식을 원한다면, 모든 k k kk 에 대해 E ( k ) ( 1 ) = e E ( k ) ( 1 ) = e E^((k))(1)=eE^{(k)}(1)=e 이므로 (7.5)는 다음과 같이 주어진다.
T n E ( x ; 1 ) = ∑ k = 0 n e k ! ( x − 1 ) k . T n E ( x ; 1 ) = ∑ k = 0 n   e k ! ( x − 1 ) k . T_(n)E(x;1)=sum_(k=0)^(n)(e)/(k!)(x-1)^(k).T_{n} E(x ; 1)=\sum_{k=0}^{n} \frac{e}{k!}(x-1)^{k} .
예제 2. f ( x ) = sin ⁡ x f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=sin xf(x)=\sin x 일 때, f ′ ( x ) = cos ⁡ x , f ′ ′ ( x ) = − sin ⁡ x , f ′ ′ ′ ( x ) = − cos ⁡ x f ′ ( x ) = cos ⁡ x , f ′ ′ ( x ) = − sin ⁡ x , f ′ ′ ′ ( x ) = − cos ⁡ x f^(')(x)=cos x,f^('')(x)=-sin x,f^(''')(x)=-cos xf^{\prime}(x)=\cos x, f^{\prime \prime}(x)=-\sin x, f^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos x , f ( 4 ) ( x ) = sin ⁡ x f ( 4 ) ( x ) = sin ⁡ x f^((4))(x)=sin xf^{(4)}(x)=\sin x 등이 성립하므로 f ( 2 n + 1 ) ( 0 ) = ( − 1 ) n f ( 2 n + 1 ) ( 0 ) = ( − 1 ) n f^((2n+1))(0)=(-1)^(n)f^{(2 n+1)}(0)=(-1)^{n} 과 f ( 2 n ) ( 0 ) = 0 f ( 2 n ) ( 0 ) = 0 f^((2n))(0)=0f^{(2 n)}(0)=0 이다. 따라서 사인 함수가 0에서 생성하는 테일러 다항식에는 x x xx 의 홀수 거듭제곱만 나타난다. 차수가 2 n + 1 2 n + 1 2n+12 n+1 인 테일러 다항식은 다음과 같은 형태를 가진다.
T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . T_(2n+1)(sin x)=x-(x^(3))/(3!)+(x^(5))/(5!)-(x^(7))/(7!)+cdots+(-1)^(n)(x^(2n+1))/((2n+1)!).T_{2 n+1}(\sin x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!} .
예제 3. 예제 2와 유사한 논리로, 코사인 함수가 0에서 생성하는 테일러 다항식에는 x x xx 의 짝수 거듭제곱만 포함됨을 알 수 있다. 차수가 2 n 2 n 2n2 n 인 다항식은 다음과 같이 주어진다.
T 2 n ( cos ⁡ x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . T 2 n ( cos ⁡ x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . T_(2n)(cos x)=1-(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)-(x^(6))/(6!)+cdots+(-1)^(n)(x^(2n))/((2n)!).T_{2 n}(\cos x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .
각 테일러 다항식 T 2 n ( cos ⁡ x ) T 2 n ( cos ⁡ x ) T_(2n)(cos x)T_{2 n}(\cos x) 은 테일러 다항식 T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) T 2 n + 1 ( sin ⁡ x ) T_(2n+1)(sin x)T_{2 n+1}(\sin x) 의 도함수임에 유의하라. 이는 코사인 함수 자체가 사인 함수의 도함수이기 때문이다. 다음 절에서는 함수들 사이에 성립하는 특정 관계들이 그들의 테일러 다항식으로 전달됨을 배우게 될 것이다.

7.3 테일러 다항식의 미적분학

어떤 함수 f f ff 가 한 점 a a aa 에서 n n nn 차 도함수를 가지면, 우리는 항상 다음 공식으로 테일러 다항식 T n f T n f T_(n)fT_{n} f 을 만들 수 있다.
T n f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . T n f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k . T_(n)f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k).T_{n} f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} .
때로는 도함수 f ( k ) ( a ) f ( k ) ( a ) f^((k))(a)f^{(k)}(a) 의 계산이 길어질 수 있으므로, 테일러 다항식을 결정하는 대체 방법을 갖는 것이 바람직하다. 다음 정리는 테일러 연산자의 성질을 설명하며, 주어진 테일러 다항식으로부터 새로운 테일러 다항식을 얻을 수 있게 해준다. 이 정리에서 모든 테일러 다항식은 공통점 a a aa 에서 생성된다고 이해된다.
정리 7.2. 테일러 연산자 T n T n T_(n)T_{n} 는 다음과 같은 성질을 가진다:
(a) 선형성 성질. c 1 c 1 c_(1)c_{1} 과 c 2 c 2 c_(2)c_{2} 이 상수라면,
T n ( c 1 f + c 2 g ) = c 1 T n ( f ) + c 2 T n ( g ) . T n c 1 f + c 2 g = c 1 T n ( f ) + c 2 T n ( g ) . T_(n)(c_(1)f+c_(2)g)=c_(1)T_(n)(f)+c_(2)T_(n)(g).T_{n}\left(c_{1} f+c_{2} g\right)=c_{1} T_{n}(f)+c_{2} T_{n}(g) .
(b) 미분 성질. f f ff 의 테일러 다항식의 도함수는 f ′ f ′ f^(')f^{\prime} 의 테일러 다항식이다. 실제로 우리는 다음을 얻는다.
( T n f ) ′ = T n − 1 ( f ′ ) . T n f ′ = T n − 1 f ′ . (T_(n)f)^(')=T_(n-1)(f^(')).\left(T_{n} f\right)^{\prime}=T_{n-1}\left(f^{\prime}\right) .
(c) 적분 성질. f f ff 의 테일러 다항식의 부정적분은 f f ff 의 부정적분의 테일러 다항식이다. 더 정확히 말해, 만약 g ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t g ( x ) = ∫ a x   f ( t ) d t g(x)=int_(a)^(x)f(t)dtg(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t 이라면, 우리는 다음을 얻는다.
T n + 1 g ( x ) = ∫ a x T n f ( t ) d t T n + 1 g ( x ) = ∫ a x   T n f ( t ) d t T_(n+1)g(x)=int_(a)^(x)T_(n)f(t)dtT_{n+1} g(x)=\int_{a}^{x} T_{n} f(t) d t
증명. 각 진술 (a), (b), 또는 (c)는 동일한 차수를 가진 두 다항식을 포함하는 방정식이다. 각 진술을 증명하기 위해 우리는 단순히 왼쪽에 나타나는 다항식이 오른쪽에 나타나는 다항식과 점 a a aa 에서 같은 값과 같은 도함수를 가짐을 관찰한다. 그런 다음 우리는 정리 7.1의 유일성 성질을 호출한다. 다항식의 미분은 그 차수를 낮추는 반면, 적분은 차수를 증가시킨다는 점에 유의하라.
다음 정리는 테일러 다항식에서 x x xx 을 c x c x cxc x 로 대체할 때 어떤 일이 발생하는지 알려줍니다.
정리 7.3. 치환 성질. g ( x ) = f ( c x ) g ( x ) = f ( c x ) g(x)=f(cx)g(x)=f(c x) 이라고 하자. 여기서 c c cc 은 상수이다. 그러면 다음이 성립한다
T n g ( x ; a ) = T n f ( c x ; c a ) . T n g ( x ; a ) = T n f ( c x ; c a ) . T_(n)g(x;a)=T_(n)f(cx;ca).T_{n} g(x ; a)=T_{n} f(c x ; c a) .
특히, a = 0 a = 0 a=0a=0 일 때 T n g ( x ) = T n f ( c x ) T n g ( x ) = T n f ( c x ) T_(n)g(x)=T_(n)f(cx)T_{n} g(x)=T_{n} f(c x) 이 성립한다.
증명. g ( x ) = f ( c x ) g ( x ) = f ( c x ) g(x)=f(cx)g(x)=f(c x) 이므로, 연쇄 법칙에 의해 다음을 얻는다
g ′ ( x ) = c f ′ ( c x ) , g ′ ′ ( x ) = c 2 f ′ ′ ( c x ) , … , g ( k ) ( x ) = c k f ( k ) ( c x ) . g ′ ( x ) = c f ′ ( c x ) , g ′ ′ ( x ) = c 2 f ′ ′ ( c x ) , … , g ( k ) ( x ) = c k f ( k ) ( c x ) . g^(')(x)=cf^(')(cx),quadg^('')(x)=c^(2)f^('')(cx),quad dots,quadg^((k))(x)=c^(k)f^((k))(cx).g^{\prime}(x)=c f^{\prime}(c x), \quad g^{\prime \prime}(x)=c^{2} f^{\prime \prime}(c x), \quad \ldots, \quad g^{(k)}(x)=c^{k} f^{(k)}(c x) .
따라서 우리는 다음을 얻습니다
T n g ( x ; a ) = ∑ k = 0 n g ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 n f ( k ) ( c a ) k ! ( c x − c a ) k = T n f ( c x ; c a ) . T n g ( x ; a ) = ∑ k = 0 n   g ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( c a ) k ! ( c x − c a ) k = T n f ( c x ; c a ) . T_(n)g(x;a)=sum_(k=0)^(n)(g^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(ca))/(k!)(cx-ca)^(k)=T_(n)f(cx;ca).T_{n} g(x ; a)=\sum_{k=0}^{n} \frac{g^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c a)}{k!}(c x-c a)^{k}=T_{n} f(c x ; c a) .
e x e x e^(x)e^{x} 에 대한 테일러 다항식에서 x x xx 을 − x − x -x-x 로 대체하면, 우리는 다음을 발견합니다.
T n ( e − x ) = 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x n n ! . T n e − x = 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x n n ! . T_(n)(e^(-x))=1-x+(x^(2))/(2!)-(x^(3))/(3!)+cdots+(-1)^(n)(x^(n))/(n!).T_{n}\left(e^{-x}\right)=1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n!} .
cosh ⁡ x = 1 2 e x + 1 2 e − x cosh ⁡ x = 1 2 e x + 1 2 e − x cosh x=(1)/(2)e^(x)+(1)/(2)e^(-x)\cosh x=\frac{1}{2} e^{x}+\frac{1}{2} e^{-x} 이므로, 선형성 성질을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다.
T 2 n ( cosh ⁡ x ) = 1 2 T 2 n ( e x ) + 1 2 T 2 n ( e − x ) = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ + x 2 n ( 2 n ) ! . T 2 n ( cosh ⁡ x ) = 1 2 T 2 n e x + 1 2 T 2 n e − x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ + x 2 n ( 2 n ) ! . T_(2n)(cosh x)=(1)/(2)T_(2n)(e^(x))+(1)/(2)T_(2n)(e^(-x))=1+(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)+cdots+(x^(2n))/((2n)!).T_{2 n}(\cosh x)=\frac{1}{2} T_{2 n}\left(e^{x}\right)+\frac{1}{2} T_{2 n}\left(e^{-x}\right)=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .
미분 성질은 우리에게 다음을 제공합니다.
T 2 n − 1 ( sinh ⁡ x ) = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! T 2 n − 1 ( sinh ⁡ x ) = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! T_(2n-1)(sinh x)=x+(x^(3))/(3!)+(x^(5))/(5!)+cdots+(x^(2n-1))/((2n-1)!)T_{2 n-1}(\sinh x)=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}
다음 정리는 테일러 다항식의 계산을 단순화하는 데에도 유용하다.
정리 7.4. P n P n P_(n)P_{n} 을 차수가 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 인 다항식이라 하자. f f ff 와 g g gg 은 0에서 n n nn 차까지의 도함수를 갖는 두 함수이고, 다음을 가정한다.
f ( x ) = P n ( x ) + x n g ( x ) f ( x ) = P n ( x ) + x n g ( x ) f(x)=P_(n)(x)+x^(n)g(x)f(x)=P_{n}(x)+x^{n} g(x)
여기서 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0g(x) \rightarrow 0 이다. 그러면 P n P n P_(n)P_{n} 은 f f ff 에 의해 0에서 생성된 테일러 다항식이다.
증명. h ( x ) = f ( x ) − P n ( x ) = x n g ( x ) h ( x ) = f ( x ) − P n ( x ) = x n g ( x ) h(x)=f(x)-P_(n)(x)=x^(n)g(x)h(x)=f(x)-P_{n}(x)=x^{n} g(x) 이라 하자. 곱 x n g ( x ) x n g ( x ) x^(n)g(x)x^{n} g(x) 을 반복적으로 미분하면, h h hh 와 그 첫 n n nn 개의 도함수들은 x = 0 x = 0 x=0x=0 에서 0이 됨을 알 수 있다. 따라서 f f ff 은 P n P n P_(n)P_{n} 과 그 첫 n n nn 개의 도함수들을 0에서 일치시키므로, 주장대로 P n = T n f P n = T n f P_(n)=T_(n)fP_{n}=T_{n} f 이 성립한다.
예시들. 대수적 항등식으로부터
1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 1 − x 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 1 − x (1)/(1-x)=1+x+x^(2)+cdots+x^(n)+(x^(n+1))/(1-x)\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\frac{x^{n+1}}{1-x}
모든 x ≠ 1 x ≠ 1 x!=1x \neq 1 에 대해 유효하므로, 우리는 f ( x ) = 1 / ( 1 − x ) , P n ( x ) = 1 + f ( x ) = 1 / ( 1 − x ) , P n ( x ) = 1 + f(x)=1//(1-x),P_(n)(x)=1+f(x)=1 /(1-x), P_{n}(x)=1+ x + ⋯ + x n x + ⋯ + x n x+cdots+x^(n)x+\cdots+x^{n} , 그리고 g ( x ) = x / ( 1 − x ) g ( x ) = x / ( 1 − x ) g(x)=x//(1-x)g(x)=x /(1-x) 일 때 (7.6)이 만족됨을 알 수 있습니다. x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0g(x) \rightarrow 0 이므로, 정리 7.4는 다음과 같이 알려줍니다.
T n ( 1 1 − x ) = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n T n 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n T_(n)((1)/(1-x))=1+x+x^(2)+cdots+x^(n)T_{n}\left(\frac{1}{1-x}\right)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}
이 관계를 적분하면 더 나은 테일러 다항식을 얻을 수 있습니다.
T n + 1 [ − log ⁡ ( 1 − x ) ] = x + x 2 2 + x 3 3 + ⋯ + x n + 1 n + 1 T n + 1 [ − log ⁡ ( 1 − x ) ] = x + x 2 2 + x 3 3 + ⋯ + x n + 1 n + 1 T_(n+1)[-log(1-x)]=x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)+cdots+(x^(n+1))/(n+1)T_{n+1}[-\log (1-x)]=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{n+1}
(7.7)에서 x x xx 을 − x 2 − x 2 -x^(2)-x^{2} 로 대체하여 얻을 수 있습니다.
1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n − ( − 1 ) n x 2 n + 1 1 + x 2 1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n − ( − 1 ) n x 2 n + 1 1 + x 2 (1)/(1+x^(2))=1-x^(2)+x^(4)-cdots+(-1)^(n)x^(2n)-(-1)^(n)(x^(2n+1))/(1+x^(2))\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots+(-1)^{n} x^{2 n}-(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{1+x^{2}}
정리 7.4를 다시 한 번 적용하면 다음을 알 수 있다.
T 2 n ( 1 1 + x 2 ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k T 2 n 1 1 + x 2 = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x 2 k T_(2n)((1)/(1+x^(2)))=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)x^(2k)T_{2 n}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{2 k}
이 관계를 적분하면 다음 공식이 도출된다.
T 2 n + 1 ( arctan ⁡ x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 T 2 n + 1 ( arctan ⁡ x ) = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 T_(2n+1)(arctan x)=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)(x^(2k+1))/(2k+1)T_{2 n+1}(\arctan x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}

7.4 연습 문제

  1. 테일러 다항식 T 3 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 T 3 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 T_(3)(sin x)=x-x^(3)//3T_{3}(\sin x)=x-x^{3} / 3 !과 T 5 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 ! + T 5 ( sin ⁡ x ) = x − x 3 / 3 ! + T_(5)(sin x)=x-x^(3)//3!+T_{5}(\sin x)=x-x^{3} / 3!+ x 5 / 5 x 5 / 5 x^(5)//5x^{5} / 5 !의 그래프를 그려라. 곡선들이 x x xx 축과 교차하는 지점에 특히 주의하라. 이 그래프들을 f ( x ) = sin ⁡ x f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=sin xf(x)=\sin x 의 그래프와 비교하라.
  2. 연습 1과 같은 방법으로 테일러 다항식 T 2 ( cos ⁡ x ) , T 4 ( cos ⁡ x ) T 2 ( cos ⁡ x ) , T 4 ( cos ⁡ x ) T_(2)(cos x),T_(4)(cos x)T_{2}(\cos x), T_{4}(\cos x) 및 f ( x ) = cos ⁡ x f ( x ) = cos ⁡ x f(x)=cos xf(x)=\cos x 을 구하시오.
연습 3부터 10까지는 주어진 조건에 따라 테일러 다항식 T n f ( x ) T n f ( x ) T_(n)f(x)T_{n} f(x) 을 구하시오. 각 경우에서 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 이 의미를 가지는 모든 x x xx 에 대해 정의된다고 가정합니다. 정리 7.2, 7.3, 7.4는 많은 경우 계산을 단순화하는 데 도움이 될 것입니다.
3. T n ( a x ) = ∑ k = 0 n ( log ⁡ a ) k k ! x k T n a x = ∑ k = 0 n   ( log ⁡ a ) k k ! x k T_(n)(a^(x))=sum_(k=0)^(n)((log a)^(k))/(k!)x^(k)T_{n}\left(a^{x}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(\log a)^{k}}{k!} x^{k}.
6. T n [ log ⁡ ( 1 + x ) ] = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k + 1 x k k T n [ log ⁡ ( 1 + x ) ] = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k + 1 x k k T_(n)[log(1+x)]=sum_(k=1)^(n)((-1)^(k+1)x^(k))/(k)T_{n}[\log (1+x)]=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1} x^{k}}{k}.
4. T n ( 1 1 + x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x k T n 1 1 + x = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x k T_(n)((1)/(1+x))=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)x^(k)T_{n}\left(\frac{1}{1+x}\right)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{k}.
7. T 2 n + 1 ( log ⁡ 1 + x 1 − x ) = ∑ k = 0 n x 2 k + 1 2 k + 1 T 2 n + 1 log ⁡ 1 + x 1 − x = ∑ k = 0 n   x 2 k + 1 2 k + 1 T_(2n+1)(log sqrt((1+x)/(1-x)))=sum_(k=0)^(n)(x^(2k+1))/(2k+1)T_{2 n+1}\left(\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}.
5. T 2 n + 1 ( x 1 − x 2 ) = ∑ k = 0 n x 2 k + 1 T 2 n + 1 x 1 − x 2 = ∑ k = 0 n   x 2 k + 1 T_(2n+1)((x)/(1-x^(2)))=sum_(k=0)^(n)x^(2k+1)T_{2 n+1}\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)=\sum_{k=0}^{n} x^{2 k+1}.
8. T n ( 1 2 − x ) = ∑ k = 0 n x k 2 k + 1 T n 1 2 − x = ∑ k = 0 n   x k 2 k + 1 T_(n)((1)/(2-x))=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(2^(k+1))T_{n}\left(\frac{1}{2-x}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{2^{k+1}}.
9. T n [ ( 1 + x ) α ] = ∑ k = 0 n ( α k ) x k , T n ( 1 + x ) α = ∑ k = 0 n   ( α k ) x k , T_(n)[(1+x)^(alpha)]=sum_(k=0)^(n)((alpha )/(k))x^(k),quadT_{n}\left[(1+x)^{\alpha}\right]=\sum_{k=0}^{n}\binom{\alpha}{k} x^{k}, \quad 여기서 ( α k ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! ( α k ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! quad((alpha )/(k))=(alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1))/(k!)\quad\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k!} .
10. T 2 n ( sin 2 ⁡ x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k + 1 2 2 k − 1 ( 2 k ) ! x 2 k T 2 n sin 2 ⁡ x = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k + 1 2 2 k − 1 ( 2 k ) ! x 2 k T_(2n)(sin^(2)x)=sum_(k=1)^(n)(-1)^(k+1)(2^(2k-1))/((2k)!)x^(2k)T_{2 n}\left(\sin ^{2} x\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} \frac{2^{2 k-1}}{(2 k)!} x^{2 k}.
[힌트: cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin 2 ⁡ x cos 2x=1-2sin^(2)x\cos 2 x=1-2 \sin ^{2} x .]

7.5 나머지 항을 포함한 테일러 공식

이제 우리는 한 점 a a aa 에서 함수 f f ff 을 테일러 다항식 T n f T n f T_(n)fT_{n} f 으로 근사할 때 발생하는 오차에 대해 논의할 것이다. 이 오차는 차이 E n ( x ) = E n ( x ) = E_(n)(x)=E_{n}(x)= f ( x ) − T n f ( x ) f ( x ) − T n f ( x ) f(x)-T_(n)f(x)f(x)-T_{n} f(x) 로 정의된다. 따라서 만약 f f ff 가 a a aa 에서 n n nn 차 도함수를 가지면, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+E_(n)(x).f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+E_{n}(x) .
이것은 나머지 항 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 을 포함한 테일러 공식으로 알려져 있으며, E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 의 크기를 추정할 수 있을 때마다 유용하다. 우리는 오차를 적분으로 표현한 후 그 적분의 크기를 추정할 것이다. 주요 아이디어를 설명하기 위해, 먼저 선형 근사에서 발생하는 오차를 고려해 보자.
정리 7.5. f f ff 이 a 근방에서 연속인 이계 도함수 f ′ ′ f ′ ′ f^('')f^{\prime \prime} 을 가진다고 가정하자. 그러면 이 근방의 모든 x x xx 에 대해 다음이 성립한다.
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + E 1 ( x ) , f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + E 1 ( x ) , f(x)=f(a)+f^(')(a)(x-a)+E_(1)(x),f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+E_{1}(x),
여기서
E 1 ( x ) = ∫ a x ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E 1 ( x ) = ∫ a x   ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E_(1)(x)=int_(a)^(x)(x-t)f^('')(t)dtE_{1}(x)=\int_{a}^{x}(x-t) f^{\prime \prime}(t) d t
증명. 오차의 정의로부터 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다
E 1 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ′ ( a ) ( x − a ) = ∫ a x f ′ ( t ) d t − f ′ ( a ) ∫ a x d t = ∫ a x [ f ′ ( t ) − f ′ ( a ) ] d t E 1 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ′ ( a ) ( x − a ) = ∫ a x   f ′ ( t ) d t − f ′ ( a ) ∫ a x   d t = ∫ a x   f ′ ( t ) − f ′ ( a ) d t E_(1)(x)=f(x)-f(a)-f^(')(a)(x-a)=int_(a)^(x)f^(')(t)dt-f^(')(a)int_(a)^(x)dt=int_(a)^(x)[f^(')(t)-f^(')(a)]dtE_{1}(x)=f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)=\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) d t-f^{\prime}(a) \int_{a}^{x} d t=\int_{a}^{x}\left[f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a)\right] d t.
마지막 적분은 ∫ a x u d v ∫ a x   u d v int_(a)^(x)udv\int_{a}^{x} u d v 으로 쓸 수 있으며, 여기서 u = f ′ ( t ) − f ′ ( a ) u = f ′ ( t ) − f ′ ( a ) u=f^(')(t)-f^(')(a)u=f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a) 이고 v = t − x v = t − x v=t-xv=t-x 이다. 이제 d u / d t = f ′ ′ ( t ) d u / d t = f ′ ′ ( t ) du//dt=f^('')(t)d u / d t=f^{\prime \prime}(t) 과 d v / d t = 1 d v / d t = 1 dv//dt=1d v / d t=1 이므로, 부분적분 공식은 우리에게 다음을 제공한다
E 1 ( x ) = ∫ a x u d v = u v | a x − ∫ a x ( t − x ) f ′ ′ ( t ) d t = ∫ a x ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E 1 ( x ) = ∫ a x   u d v = u v a x − ∫ a x   ( t − x ) f ′ ′ ( t ) d t = ∫ a x   ( x − t ) f ′ ′ ( t ) d t E_(1)(x)=int_(a)^(x)udv=uv|_(a)^(x)-int_(a)^(x)(t-x)f^('')(t)dt=int_(a)^(x)(x-t)f^('')(t)dtE_{1}(x)=\int_{a}^{x} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{x}-\int_{a}^{x}(t-x) f^{\prime \prime}(t) d t=\int_{a}^{x}(x-t) f^{\prime \prime}(t) d t
왜냐하면 u = 0 u = 0 u=0u=0 일 때 t = a t = a t=at=a 이고, v = 0 v = 0 v=0v=0 일 때 t = x t = x t=xt=x 이기 때문이다. 이것으로 정리가 증명된다.
차수 n n nn 의 다항식 근사에 해당하는 결과는 다음과 같이 주어진다.
정리 7.6. f f ff 가 a a aa 를 포함하는 어떤 구간에서 n + 1 n + 1 n+1n+1 차 연속 도함수를 가진다고 가정하자. 그러면 이 구간에 속하는 모든 x x xx 에 대해 다음 테일러 공식을 얻는다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) , f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) , f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+E_(n)(x),f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+E_{n}(x),
어디서
E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E_(n)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dtE_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t
증명. 이 정리는 n n nn 에 대한 수학적 귀납법으로 증명된다. 우리는 이미 n = 1 n = 1 n=1n=1 에 대해 이를 증명했다. 이제 어떤 n n nn 에 대해 성립한다고 가정하고 n + 1 n + 1 n+1n+1 에 대해 증명하자. 테일러 공식 (7.8)을 n + 1 n + 1 n+1n+1 와 n n nn 에 대해 각각 쓰고 이를 빼면
E n + 1 ( x ) = E n ( x ) − f ( n + 1 ) ( a ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E n + 1 ( x ) = E n ( x ) − f ( n + 1 ) ( a ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E_(n+1)(x)=E_(n)(x)-(f^((n+1))(a))/((n+1)!)(x-a)^(n+1)E_{n+1}(x)=E_{n}(x)-\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
이제 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 적분을 사용하고 ( x − a ) n + 1 / ( n + 1 ) = ∫ a x ( x − t ) n d t ( x − a ) n + 1 / ( n + 1 ) = ∫ a x   ( x − t ) n d t (x-a)^(n+1)//(n+1)=int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt(x-a)^{n+1} /(n+1)=\int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t 임을 주목하여 다음을 얻습니다.
E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t − f ( n + 1 ) ( a ) n ! ∫ a x ( x − t ) n d t = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n [ f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) ] d t E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t − f ( n + 1 ) ( a ) n ! ∫ a x   ( x − t ) n d t = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) d t {:[E_(n+1)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dt-(f^((n+1))(a))/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt],[=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)[f^((n+1))(t)-f^((n+1))(a)]dt]:}\begin{aligned} E_{n+1}(x) & =\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t-\frac{f^{(n+1)}(a)}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t \\ & =\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n}\left[f^{(n+1)}(t)-f^{(n+1)}(a)\right] d t \end{aligned}
마지막 적분은 ∫ a x u d v ∫ a x   u d v int_(a)^(x)udv\int_{a}^{x} u d v 의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 u = f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) u = f ( n + 1 ) ( t ) − f ( n + 1 ) ( a ) u=f^((n+1))(t)-f^((n+1))(a)u=f^{(n+1)}(t)-f^{(n+1)}(a) 과 v = v = v=v= − ( x − t ) n + 1 / ( n + 1 ) − ( x − t ) n + 1 / ( n + 1 ) -(x-t)^(n+1)//(n+1)-(x-t)^{n+1} /(n+1) 입니다. 부분적분을 수행하고 t = a t = a t=at=a 일 때 u = 0 u = 0 u=0u=0 이며, t = x t = x t=xt=x 일 때 v = 0 v = 0 v=0v=0 임을 주목하면 다음을 발견합니다.
E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x u d v = − 1 n ! ∫ a x v d u = 1 ( n + 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n + 1 f ( n + 2 ) ( t ) d t E n + 1 ( x ) = 1 n ! ∫ a x   u d v = − 1 n ! ∫ a x   v d u = 1 ( n + 1 ) ! ∫ a x   ( x − t ) n + 1 f ( n + 2 ) ( t ) d t E_(n+1)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)udv=-(1)/(n!)int_(a)^(x)vdu=(1)/((n+1)!)int_(a)^(x)(x-t)^(n+1)f^((n+2))(t)dtE_{n+1}(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x} u d v=-\frac{1}{n!} \int_{a}^{x} v d u=\frac{1}{(n+1)!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n+1} f^{(n+2)}(t) d t
이로써 n n nn 에서 n + 1 n + 1 n+1n+1 로의 귀납적 단계가 완성되므로, 정리는 모든 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 에 대해 참입니다.

7.6 테일러 공식의 오차 추정치

테일러 공식에서 오차 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 는 f f ff 의 ( n + 1 n + 1 n+1n+1 )차 도함수를 포함하는 적분으로 표현되었으므로, E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 의 크기를 추정하기 전에 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 에 대한 추가 정보가 필요합니다. f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 의 상한과 하한이 알려져 있다면, 다음 정리에서 설명하는 것처럼 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 상한과 하한을 유도할 수 있습니다.
정리 7.7. 만약 f f ff 의 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) 계 도함수가 다음 부등식을 만족한다면
m ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M m ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M m <= f^((n+1))(t) <= Mm \leq f^{(n+1)}(t) \leq M
a a aa 을 포함하는 어떤 구간 내의 모든 t t tt 에 대해, 이 구간 내의 모든 x x xx 에 대해 다음과 같은 추정치가 성립합니다:
m ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ M ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! if x > a m ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ M ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) !  if  x > a m((x-a)^(n+1))/((n+1)!) <= E_(n)(x) <= M((x-a)^(n+1))/((n+1)!)quad" if "quad x > am \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \leq E_{n}(x) \leq M \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \quad \text { if } \quad x>a
and그리고
m ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ ( − 1 ) n + 1 E n ( x ) ≤ M ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) ! if x < a m ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ ( − 1 ) n + 1 E n ( x ) ≤ M ( a − x ) n + 1 ( n + 1 ) !  if  x < a m((a-x)^(n+1))/((n+1)!) <= (-1)^(n+1)E_(n)(x) <= M((a-x)^(n+1))/((n+1)!)quad" if "quad x < am \frac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!} \leq(-1)^{n+1} E_{n}(x) \leq M \frac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!} \quad \text { if } \quad x<a
증명. 먼저 x > a x > a x > ax>a 이라고 가정하자. 그러면 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 적분은 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에 걸쳐 확장된다. 이 구간 내의 각 t t tt 에 대해 우리는 ( x − t ) n ≥ 0 ( x − t ) n ≥ 0 (x-t)^(n) >= 0(x-t)^{n} \geq 0 을 가지므로, (7.9)의 부등식은 다음과 같다.
m ( x − t ) n n ! ≤ ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M ( x − t ) n n ! m ( x − t ) n n ! ≤ ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M ( x − t ) n n ! m((x-t)^(n))/(n!) <= ((x-t)^(n))/(n!)f^((n+1))(t) <= M((x-t)^(n))/(n!)m \frac{(x-t)^{n}}{n!} \leq \frac{(x-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(t) \leq M \frac{(x-t)^{n}}{n!}
a a aa 에서 x x xx 까지 적분하면, 우리는 다음을 발견한다.
m n ! ∫ a x ( x − t ) n d t ≤ E n ( x ) ≤ M n ! ∫ a x ( x − t ) n d t m n ! ∫ a x   ( x − t ) n d t ≤ E n ( x ) ≤ M n ! ∫ a x   ( x − t ) n d t (m)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt <= E_(n)(x) <= (M)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt\frac{m}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t \leq E_{n}(x) \leq \frac{M}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t
치환 u = x − t , d u = − d t u = x − t , d u = − d t u=x-t,du=-dtu=x-t, d u=-d t 은 우리에게 다음을 제공한다.
∫ a x ( x − t ) n d t = ∫ 0 x − a u n d u = ( x − a ) n + 1 n + 1 ∫ a x   ( x − t ) n d t = ∫ 0 x − a   u n d u = ( x − a ) n + 1 n + 1 int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt=int_(0)^(x-a)u^(n)du=((x-a)^(n+1))/(n+1)\int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t=\int_{0}^{x-a} u^{n} d u=\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}
따라서 (7.12)는 (7.10)으로 축소된다.
만약 x < a x < a x < ax<a 이라면, 적분은 구간 [ x , a ] [ x , a ] [x,a][x, a] 에서 이루어집니다. 이 구간의 각 t t tt 에 대해 우리는 t ≥ x t ≥ x t >= xt \geq x 을 가지므로 ( − 1 ) n ( x − t ) n = ( t − x ) n ≥ 0 ( − 1 ) n ( x − t ) n = ( t − x ) n ≥ 0 (-1)^(n)(x-t)^(n)=(t-x)^(n) >= 0(-1)^{n}(x-t)^{n}=(t-x)^{n} \geq 0 입니다. 따라서, 우리는 부등식 (7.9)에 음이 아닌 인자 ( − 1 ) n ( x − t ) n / n ! ( − 1 ) n ( x − t ) n / n ! (-1)^(n)(x-t)^(n)//n!(-1)^{n}(x-t)^{n} / n! 를 곱하고 x x xx 에서 a a aa 까지 적분하여 (7.11)을 얻을 수 있습니다.
예제 1. 만약 f ( x ) = e x f ( x ) = e x f(x)=e^(x)f(x)=e^{x} 이고 a = 0 a = 0 a=0a=0 이라면, 우리는 다음 공식을 얻습니다.
e x = ∑ k = 0 n x k k ! + E n ( x ) e x = ∑ k = 0 n   x k k ! + E n ( x ) e^(x)=sum_(k=0)^(n)(x^(k))/(k!)+E_(n)(x)e^{x}=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+E_{n}(x)
f ( n + 1 ) ( x ) = e x f ( n + 1 ) ( x ) = e x f^((n+1))(x)=e^(x)f^{(n+1)}(x)=e^{x} 이므로, 도함수 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 은 모든 구간에서 단조 증가하며, 따라서 [ b , c ] [ b , c ] [b,c][b, c] 형태의 모든 구간에서 e b ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ e c e b ≤ f ( n + 1 ) ( t ) ≤ e c e^(b) <= f^((n+1))(t) <= e^(c)e^{b} \leq f^{(n+1)}(t) \leq e^{c} 부등식을 만족합니다. 이러한 구간에서, 정리 7.7의 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 부등식은 m = e b m = e b m=e^(b)m=e^{b} 와 M = e c M = e c M=e^(c)M=e^{c} 로 만족됩니다. 특히, b = 0 b = 0 b=0b=0 일 때 우리는 다음을 얻습니다.
x n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ e c x n + 1 ( n + 1 ) ! if 0 < x ≤ c x n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( x ) ≤ e c x n + 1 ( n + 1 ) !  if  0 < x ≤ c (x^(n+1))/((n+1)!) <= E_(n)(x) <= e^(c)(x^(n+1))/((n+1)!)quad" if "quad0 < x <= c\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \leq E_{n}(x) \leq e^{c} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \quad \text { if } \quad 0<x \leq c
우리는 이러한 추정치를 사용하여 오일러 수 e e ee 을 계산할 수 있습니다. 우리는 b = 0 , c = 1 b = 0 , c = 1 b=0,c=1b=0, c=1 , x = 1 x = 1 x=1x=1 를 취하고, 부등식 e < 3 e < 3 e < 3e<3 을 사용하여 다음을 얻습니다.
e = ∑ k = 0 n 1 k ! + E n ( 1 ) , where 1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( 1 ) < 3 ( n + 1 ) ! . e = ∑ k = 0 n   1 k ! + E n ( 1 ) ,  where  1 ( n + 1 ) ! ≤ E n ( 1 ) < 3 ( n + 1 ) ! . e=sum_(k=0)^(n)(1)/(k!)+E_(n)(1),quad" where "quad(1)/((n+1)!) <= E_(n)(1) < (3)/((n+1)!).e=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+E_{n}(1), \quad \text { where } \quad \frac{1}{(n+1)!} \leq E_{n}(1)<\frac{3}{(n+1)!} .
이를 통해 우리는 e e ee 을 원하는 정확도로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, e e ee 의 값을 소수점 일곱 자리까지 정확하게 구하고 싶다면, 3 / ( n + 1 ) ! < 1 2 10 − 8 3 / ( n + 1 ) ! < 1 2 10 − 8 3//(n+1)! < (1)/(2)10^(-8)3 /(n+1)!<\frac{1}{2} 10^{-8} 이 되도록 n n nn 을 선택합니다. 곧 알게 되겠지만, n = 12 n = 12 n=12n=12 이면 충분합니다. 1 / n ! 1 / n ! 1//n!1 / n! 의 값 표는 상대적으로 빠르게 계산될 수 있는데, 이는 1 / ( n − 1 ) 1 / ( n − 1 ) 1//(n-1)1 /(n-1) !을 n n nn 로 나누기만 하면 1 / n ! 1 / n ! 1//n!1 / n! 을 얻을 수 있기 때문입니다. 다음 3 ≤ n ≤ 12 3 ≤ n ≤ 12 3 <= n <= 123 \leq n \leq 12 에 대한 표는 이러한 숫자들을 소수점 아홉 자리까지 반올림한 값을 포함하고 있습니다. 각 경우의 "반올림 오차"는 더하기 또는 빼기 기호로 표시되어 있으며, 이는 실제 값이 기록된 값보다 큰지 작은지를 나타냅니다. (어떤 경우든 이 오차는 마지막 자리에서 반 단위 미만입니다.)
1 n ! 1 n ! (1)/(n!)\frac{1}{n!} n n nn
n n nn n n nn 1 n ! 1 n ! (1)/(n!)\frac{1}{n!}
3 0.166 666 667 − 667 − 667-667-
4 0.041 666 667 − 667 − 667-667-
5 0.008 333 333 + 333 + 333+333+
6 0.001 388 0.000024802 − 0.000024802 − 0.000024802-0.000024802-
7 0.000 198 0.000002756 − 0.000002756 − 0.000002756-0.000002756-
(1)/(n!) n n n (1)/(n!) 3 0.166 666 667- 4 0.041 666 667- 5 0.008 333 333+ 6 0.001 388 0.000024802- 7 0.000 198 0.000002756-| | $\frac{1}{n!}$ | $n$ | | | :---: | :---: | ---: | :---: | | $n$ | $n$ | $\frac{1}{n!}$ | | | 3 | 0.166 | 666 | $667-$ | | 4 | 0.041 | 666 | $667-$ | | 5 | 0.008 | 333 | $333+$ | | 6 | 0.001 | 388 | $0.000024802-$ | | 7 | 0.000 | 198 | $0.000002756-$ |
n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2n=0,1,2 에 해당하는 항들의 합은 5 2 5 2 (5)/(2)\frac{5}{2} 이다. 이를 표의 항목들의 합( n ≤ 12 n ≤ 12 n <= 12n \leq 12 에 대한)에 더하면 총 2.718281830이 된다. 반올림 오차를 고려하면, 이 합의 실제 값은 마지막 소수점 자리에서 최대 7 2 7 2 (7)/(2)\frac{7}{2} 단위만큼 이보다 작을 수 있고(7개의 마이너스 부호로 인해), 또는 최대 3 2 3 2 (3)/(2)\frac{3}{2} 단위만큼 이보다 클 수 있다(3개의 플러스 부호로 인해). 이 합을 s s ss 라고 하자. 그러면 이 계산을 통해 우리가 확언할 수 있는 것은 부등식 2.718281826 < s < 2.718281832 2.718281826 < s < 2.718281832 2.718281826 < s < 2.7182818322.718281826<s<2.718281832 뿐이다. 이제 오차 E 12 ( 1 ) E 12 ( 1 ) E_(12)(1)E_{12}(1) 에 대한 추정값은 0.000000000 ≤ E 12 ( 1 ) < 0.000000001 0.000000000 ≤ E 12 ( 1 ) < 0.000000001 0.000000000 <= E_(12)(1) < 0.0000000010.000000000 \leq E_{12}(1)<0.000000001 을 제공한다. e = e = e=e= s + E 12 ( 1 ) s + E 12 ( 1 ) s+E_(12)(1)s+E_{12}(1) 이므로, 이 계산은 e e ee 에 대한 다음과 같은 부등식으로 이어진다:
2.718281826 < e < 2.718281833 . 2.718281826 < e < 2.718281833 .  2.718281826 < e < 2.718281833". "2.718281826<e<2.718281833 \text {. }
이는 e e ee 의 값이 소수점 일곱 자리까지 정확하게 e = 2.7182818 e = 2.7182818 e=2.7182818e=2.7182818 임을, 또는 e e ee 의 값을 소수점 여덟 자리에서 반올림하면 e = 2.71828183 e = 2.71828183 e=2.71828183e=2.71828183 임을 알려준다.
예제 2. e e ee 의 비합리성. 우리는 앞서의 오차 E n ( 1 ) E n ( 1 ) E_(n)(1)E_{n}(1) 에 대한 추정값을 사용하여 e e ee 이 비합리적임을 증명할 수 있다. 먼저 (7.13)의 부등식을 다음과 같이 다시 쓴다:
1 ( n + 1 ) ! ≤ e − ∑ k = 0 n 1 k ! < 3 ( n + 1 ) ! . 1 ( n + 1 ) ! ≤ e − ∑ k = 0 n   1 k ! < 3 ( n + 1 ) ! . (1)/((n+1)!) <= e-sum_(k=0)^(n)(1)/(k!) < (3)/((n+1)!).\frac{1}{(n+1)!} \leq e-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}<\frac{3}{(n+1)!} .
n ! n ! n!n! 을 곱하면, 우리는 다음을 얻는다:
1 n + 1 ≤ n ! e − ∑ k = 0 n n ! k ! < 3 n + 1 ≤ 3 4 1 n + 1 ≤ n ! e − ∑ k = 0 n   n ! k ! < 3 n + 1 ≤ 3 4 (1)/(n+1) <= n!e-sum_(k=0)^(n)(n!)/(k!) < (3)/(n+1) <= (3)/(4)\frac{1}{n+1} \leq n!e-\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}<\frac{3}{n+1} \leq \frac{3}{4}
만약 n ≥ 3 n ≥ 3 n >= 3n \geq 3 이라면, 모든 n n nn 에 대해 k k kk 의 합은 정수입니다. 만약 e e ee 이 유리수라면, n n nn 을 충분히 크게 선택하여 n ! e n ! e n!en!e 도 정수가 되도록 할 수 있습니다. 그러나 그러면 (7.14)에 따라 이 두 정수의 차이는 3 4 3 4 (3)/(4)\frac{3}{4} 을 넘지 않는 양수가 되는데, 이는 불가능합니다. 따라서 e e ee 은 유리수가 될 수 없습니다.
다항식 근사는 종종 초등 함수로 직접 계산할 수 없는 적분의 근사치를 구할 수 있게 해줍니다. 유명한 예로는 확률론과 다양한 물리 문제에서 등장하는 적분
f ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t f ( x ) = ∫ 0 x   e − t 2 d t f(x)=int_(0)^(x)e^(-t^(2))dtf(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
이 있습니다. 이렇게 정의된 함수 f f ff 은 초등 함수가 아닌 것으로 알려져 있습니다. 즉, f f ff 은 다항식, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수 또는 역삼각 함수를 유한한 단계 내에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 또는 합성 연산을 통해 얻을 수 없습니다. 이론과 실제 모두에서 자주 등장하는 다른 예로는 적분들이 있습니다.
∫ 0 x sin ⁡ t t d t , ∫ 0 x sin ⁡ ( t 2 ) d t , ∫ 0 x 1 − k 2 sin 2 ⁡ t d t . ∫ 0 x   sin ⁡ t t d t , ∫ 0 x   sin ⁡ t 2 d t , ∫ 0 x   1 − k 2 sin 2 ⁡ t d t . int_(0)^(x)(sin t)/(t)dt,quadint_(0)^(x)sin(t^(2))dt,quadint_(0)^(x)sqrt(1-k^(2)sin^(2)t)dt.\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t, \quad \int_{0}^{x} \sin \left(t^{2}\right) d t, \quad \int_{0}^{x} \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} t} d t .
(첫 번째 경우에서, t = 0 t = 0 t=0t=0 일 때 몫 ( sin ⁡ t ) / t ( sin ⁡ t ) / t (sin t)//t(\sin t) / t 은 1로 대체되는 것으로 이해됩니다. 세 번째 적분에서 k k kk 는 상수이며 0 < k < 1 0 < k < 1 0 < k < 10<k<1 입니다.) 이번 섹션을 마무리하며, 테일러 공식을 사용하여 적분 ∫ 0 1 / 2 e − t 2 d t ∫ 0 1 / 2   e − t 2 d t int_(0)^(1//2)e^(-t^(2))dt\int_{0}^{1 / 2} e^{-t^{2}} d t 의 정확한 추정값을 얻는 방법을 보여주는 예제를 소개하겠습니다.
예제 3. n = 4 n = 4 n=4n=4 을 포함한 e x e x e^(x)e^{x} 에 대한 테일러 공식은 다음과 같습니다.
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + E 4 ( x ) . e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + E 4 ( x ) . e^(x)=1+x+(x^(2))/(2!)+(x^(3))/(3!)+(x^(4))/(4!)+E_(4)(x).e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+E_{4}(x) .
이제 x ≤ 0 x ≤ 0 x <= 0x \leq 0 이라고 가정해 봅시다. [ − c , 0 ] [ − c , 0 ] [-c,0][-c, 0] 형태의 어떤 구간에서든 e − c ≤ e x ≤ 1 e − c ≤ e x ≤ 1 e^(-c) <= e^(x) <= 1e^{-c} \leq e^{x} \leq 1 이므로, m = e − c m = e − c m=e^(-c)m=e^{-c} 과 M = 1 M = 1 M=1M=1 을 사용하여 정리 7.7의 부등식 (7.11)을 적용할 수 있습니다.
0 < ( − 1 ) 5 E 4 ( x ) ≤ ( − x ) 5 5 ! if x < 0 . 0 < ( − 1 ) 5 E 4 ( x ) ≤ ( − x ) 5 5 !  if  x < 0 . 0 < (-1)^(5)E_(4)(x) <= ((-x)^(5))/(5!)quad" if "quad x < 0.0<(-1)^{5} E_{4}(x) \leq \frac{(-x)^{5}}{5!} \quad \text { if } \quad x<0 .
다시 말해, x < 0 x < 0 x < 0x<0 이라면 E 4 ( x ) E 4 ( x ) E_(4)(x)E_{4}(x) 은 음수이고 ≥ x 5 / 5 ! ≥ x 5 / 5 ! >= x^(5)//5!\geq x^{5} / 5! 입니다. (7.15)에서 x x xx 을 − t 2 − t 2 -t^(2)-t^{2} 으로 대체하면 다음과 같습니다.
e − t 2 = 1 − t 2 + t 4 2 ! − t 6 3 ! + t 8 4 ! + E 4 ( − t 2 ) e − t 2 = 1 − t 2 + t 4 2 ! − t 6 3 ! + t 8 4 ! + E 4 − t 2 e^(-t^(2))=1-t^(2)+(t^(4))/(2!)-(t^(6))/(3!)+(t^(8))/(4!)+E_(4)(-t^(2))e^{-t^{2}}=1-t^{2}+\frac{t^{4}}{2!}-\frac{t^{6}}{3!}+\frac{t^{8}}{4!}+E_{4}\left(-t^{2}\right)
여기서 − t 10 / 5 ! ≤ E 4 ( − t 2 ) < 0 − t 10 / 5 ! ≤ E 4 − t 2 < 0 -t^(10)//5! <= E_(4)(-t^(2)) < 0-t^{10} / 5!\leq E_{4}\left(-t^{2}\right)<0 . 만약 0 ≤ t ≤ 1 2 0 ≤ t ≤ 1 2 0 <= t <= (1)/(2)0 \leq t \leq \frac{1}{2} 이라면, 우리는 t 10 / 5 ! ≤ ( 1 2 ) 10 / 5 ! < 0.000009 t 10 / 5 ! ≤ 1 2 10 / 5 ! < 0.000009 t^(10)//5! <= ((1)/(2))^(10)//5! < 0.000009t^{10} / 5!\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{10} / 5!<0.000009 을 발견한다. 따라서 (7.16)을 0에서 1 2 1 2 (1)/(2)\frac{1}{2} 까지 적분하면 다음을 얻는다.
∫ 0 1 / 2 e − t 2 d t = 1 2 − 1 3 ⋅ 2 3 + 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 2 ! − 1 7 ⋅ 2 7 ⋅ 3 ! + 1 9 ⋅ 2 9 ⋅ 4 ! − θ ∫ 0 1 / 2   e − t 2 d t = 1 2 − 1 3 ⋅ 2 3 + 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 2 ! − 1 7 ⋅ 2 7 ⋅ 3 ! + 1 9 ⋅ 2 9 ⋅ 4 ! − θ int_(0)^(1//2)e^(-t^(2))dt=(1)/(2)-(1)/(3*2^(3))+(1)/(5*2^(5)*2!)-(1)/(7*2^(7)*3!)+(1)/(9*2^(9)*4!)-theta\int_{0}^{1 / 2} e^{-t^{2}} d t=\frac{1}{2}-\frac{1}{3 \cdot 2^{3}}+\frac{1}{5 \cdot 2^{5} \cdot 2!}-\frac{1}{7 \cdot 2^{7} \cdot 3!}+\frac{1}{9 \cdot 2^{9} \cdot 4!}-\theta
여기서 0 < θ ≤ 0.0000045 0 < θ ≤ 0.0000045 0 < theta <= 0.00000450<\theta \leq 0.0000045 . 소수점 넷째 자리에서 반올림하면, 우리는 ∫ 0 1 / 2 e − t 2 d t = 0.4613 ∫ 0 1 / 2   e − t 2 d t = 0.4613 int_(0)^(1//2)e^(-t^(2))dt=0.4613\int_{0}^{1 / 2} e^{-t^{2}} d t=0.4613 을 발견한다.

*7.7 테일러 공식에서 나머지 항의 다른 형태들

우리는 테일러 공식의 오차를 적분 형태로 표현했으며,
E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E n ( x ) = 1 n ! ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t E_(n)(x)=(1)/(n!)int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dtE_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t
이것은 또한 다른 여러 형태로 표현될 수 있다. 피적분 함수의 인자 ( x − t ) n ( x − t ) n (x-t)^(n)(x-t)^{n} 는 적분 구간에서 부호가 변하지 않으며, f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 은 이 구간에서 연속이므로, 적분에 대한 가중 평균값 정리(정리 3.16)에 의해 다음을 얻는다.
∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t = f ( n + 1 ) ( c ) ∫ a x ( x − t ) n d t = f ( n + 1 ) ( c ) ( x − a ) n + 1 n + 1 ∫ a x   ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t = f ( n + 1 ) ( c ) ∫ a x   ( x − t ) n d t = f ( n + 1 ) ( c ) ( x − a ) n + 1 n + 1 int_(a)^(x)(x-t)^(n)f^((n+1))(t)dt=f^((n+1))(c)int_(a)^(x)(x-t)^(n)dt=f^((n+1))(c)((x-a)^(n+1))/(n+1)\int_{a}^{x}(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) d t=f^{(n+1)}(c) \int_{a}^{x}(x-t)^{n} d t=f^{(n+1)}(c) \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}
여기서 c c cc 는 a a aa 과 x x xx 를 연결하는 닫힌 구간 내에 존재한다. 따라서 오차는 다음과 같이 쓸 수 있다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/((n+1)!)(x-a)^(n+1)E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
이것을 라그랑주 나머지 형태라고 부른다. 이는 테일러 공식의 앞선 항들과 유사하지만, 도함수 f ( n + 1 ) ( c ) f ( n + 1 ) ( c ) f^((n+1))(c)f^{(n+1)}(c) 가 a a aa 가 아닌 알려지지 않은 점 c c cc 에서 계산된다는 점이 다르다. 점 c c cc 은 x x xx 와 n n nn 뿐만 아니라 f f ff 에도 의존한다.
다른 유형의 논증을 사용하여, f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 에 대한 연속성 요구 사항을 제거하고 더 약한 가정 하에서 라그랑주 공식과 나머지의 다른 형태들을 유도할 수 있다. f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 이 점 a a aa 을 포함하는 어떤 열린 구간( h , k h , k h,kh, k )에서 존재한다고 가정하고, f ( n ) f ( n ) f^((n))f^{(n)} 가 닫힌 구간 [ h , k ] [ h , k ] [h,k][h, k] 에서 연속이라고 가정하자. [ h , k ] [ h , k ] [h,k][h, k] 내의 임의의 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 을 선택한다. 간단히 말해 x > a x > a x > ax>a 이라고 하자. x x xx 를 고정하고 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 새로운 함수 F F FF 을 다음과 같이 정의한다.
F ( t ) = f ( t ) + ∑ k = 1 n f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k F ( t ) = f ( t ) + ∑ k = 1 n   f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k F(t)=f(t)+sum_(k=1)^(n)(f^((k))(t))/(k!)(x-t)^(k)F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^{k}
F ( x ) = f ( x ) F ( x ) = f ( x ) F(x)=f(x)F(x)=f(x) 와 F ( a ) = T n f ( x ; a ) F ( a ) = T n f ( x ; a ) F(a)=T_(n)f(x;a)F(a)=T_{n} f(x ; a) 이므로 F ( x ) − F ( a ) = E n ( x ) F ( x ) − F ( a ) = E n ( x ) F(x)-F(a)=E_(n)(x)F(x)-F(a)=E_{n}(x) 입니다. 함수 F F FF 은
닫힌 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 연속이고 열린 구간 ( a , x a , x a,xa, x )에서 미분 가능합니다. F ( t ) F ( t ) F(t)F(t) 을 정의하는 합의 각 항이 곱셈 형태임을 염두에 두고 F ′ ( t ) F ′ ( t ) F^(')(t)F^{\prime}(t) 을 계산하면, 모든 항이 상쇄되고 하나의 항만 남아 다음 방정식을 얻습니다.
F ′ ( t ) = ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) F ′ ( t ) = ( x − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) F^(')(t)=((x-t)^(n))/(n!)f^((n+1))(t)F^{\prime}(t)=\frac{(x-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(t)
이제 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 연속이고 ( a , x ) ( a , x ) (a,x)(a, x) 에서 미분 가능한 임의의 함수 G G GG 을 생각해 봅시다. 그러면 코시의 평균값 정리(정리 4.6)를 적용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
G ′ ( c ) [ F ( x ) − F ( a ) ] = F ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] , G ′ ( c ) [ F ( x ) − F ( a ) ] = F ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] , G^(')(c)[F(x)-F(a)]=F^(')(c)[G(x)-G(a)],G^{\prime}(c)[F(x)-F(a)]=F^{\prime}(c)[G(x)-G(a)],
여기서 c c cc 은 열린 구간 ( a , x a , x a,xa, x ) 내의 어떤 값입니다. 만약 G ′ G ′ G^(')G^{\prime} 이 ( a , x a , x a,xa, x )에서 0이 아니면, 오차 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 에 대한 다음 공식을 얻습니다.
E n ( x ) = F ′ ( c ) G ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] . E n ( x ) = F ′ ( c ) G ′ ( c ) [ G ( x ) − G ( a ) ] . E_(n)(x)=(F^(')(c))/(G^(')(c))[G(x)-G(a)].E_{n}(x)=\frac{F^{\prime}(c)}{G^{\prime}(c)}[G(x)-G(a)] .
G G GG 을 다양한 값으로 선택함으로써 오차를 여러 형태로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, G ( t ) = ( x − t ) n + 1 G ( t ) = ( x − t ) n + 1 G(t)=(x-t)^(n+1)G(t)=(x-t)^{n+1} 을 선택하면 라그랑주 형태를 얻습니다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , where a < c < x . E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 ,  where  a < c < x . E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/((n+1)!)(x-a)^(n+1),quad" where "quad a < c < x.E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \quad \text { where } \quad a<c<x .
G ( t ) = x − t G ( t ) = x − t G(t)=x-tG(t)=x-t 을 선택하면 나머지 항의 코시 형태라고 불리는 또 다른 공식을 얻습니다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! ( x − c ) n ( x − a ) , where a < c < x . E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! ( x − c ) n ( x − a ) ,  where  a < c < x . E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/(n!)(x-c)^(n)(x-a),quad" where "quad a < c < x.E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^{n}(x-a), \quad \text { where } \quad a<c<x .
만약 G ( t ) = ( x − t ) p G ( t ) = ( x − t ) p G(t)=(x-t)^(p)G(t)=(x-t)^{p} , 여기서 p ≥ 1 p ≥ 1 p >= 1p \geq 1 인 경우, 우리는 다음 공식을 얻습니다.
E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! p ( x − c ) n + 1 − p ( x − a ) p , where a < c < x . E n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) n ! p ( x − c ) n + 1 − p ( x − a ) p ,  where  a < c < x . E_(n)(x)=(f^((n+1))(c))/(n!p)(x-c)^(n+1-p)(x-a)^(p),quad" where "quad a < c < x.E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!p}(x-c)^{n+1-p}(x-a)^{p}, \quad \text { where } \quad a<c<x .

7.8 Exercises7.8 연습문제

테일러 공식과 나머지 항의 예시가 연습 문제 1, 2, 3에 주어져 있습니다. 각 경우에 오차가 주어진 부등식을 만족함을 증명하세요.
  1. sin ⁡ x = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! + E 2 n ( x ) , | E 2 n ( x ) | ≤ | x | 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! sin ⁡ x = ∑ k = 1 n   ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! + E 2 n ( x ) , E 2 n ( x ) ≤ | x | 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! sin x=sum_(k=1)^(n)((-1)^(k-1)x^(2k-1))/((2k-1)!)+E_(2n)(x),quad|E_(2n)(x)| <= (|x|^(2n+1))/((2n+1)!)\sin x=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} x^{2 k-1}}{(2 k-1)!}+E_{2 n}(x), \quad\left|E_{2 n}(x)\right| \leq \frac{|x|^{2 n+1}}{(2 n+1)!}.
  2. cos ⁡ x = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! + E 2 n + 1 ( x ) , | E 2 n + 1 ( x ) | ≤ | x | 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! cos ⁡ x = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! + E 2 n + 1 ( x ) , E 2 n + 1 ( x ) ≤ | x | 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! cos x=sum_(k=0)^(n)((-1)^(k)x^(2k))/((2k)!)+E_(2n+1)(x),quad|E_(2n+1)(x)| <= (|x|^(2n+2))/((2n+2)!)\cos x=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!}+E_{2 n+1}(x), \quad\left|E_{2 n+1}(x)\right| \leq \frac{|x|^{2 n+2}}{(2 n+2)!}.
  3. arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , | E 2 n ( x ) | ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1   ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , E 2 n ( x ) ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan x=sum_(k=0)^(n-1)((-1)^(k)x^(2k+1))/(2k+1)+E_(2n)(x),quad|E_(2n)(x)| <= (x^(2n+1))/(2n+1)quad\arctan x=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{2 k+1}+E_{2 n}(x), \quad\left|E_{2 n}(x)\right| \leq \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \quad if 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 quad0 <= x <= 1\quad 0 \leq x \leq 1. arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , | E 2 n ( x ) | ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan ⁡ x = ∑ k = 0 n − 1   ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 + E 2 n ( x ) , E 2 n ( x ) ≤ x 2 n + 1 2 n + 1 arctan x=sum_(k=0)^(n-1)((-1)^(k)x^(2k+1))/(2k+1)+E_(2n)(x),quad|E_(2n)(x)| <= (x^(2n+1))/(2n+1)quad\arctan x=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{2 k+1}+E_{2 n}(x), \quad\left|E_{2 n}(x)\right| \leq \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \quad 만약 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 quad0 <= x <= 1\quad 0 \leq x \leq 1 .
  4. (a) 3차 테일러 다항식 근사를 사용하여 방정식 x 2 = sin ⁡ x x 2 = sin ⁡ x x^(2)=sin xx^{2}=\sin x 의 비영근에 대한 근사값으로 r = 15 − 3 r = 15 − 3 r=sqrt15-3r=\sqrt{15}-3 을 구하시오. 이때 함수 sin ⁡ x sin ⁡ x sin x\sin x 에 대한 근사를 적용한다.
    (b) 주어진 조건 @0# 하에서, (a) 부분의 근사가 부등식을 만족함을 보이시오.
| sin ⁡ r − r 2 | < 1 200 , sin ⁡ r − r 2 < 1 200 , |sin r-r^(2)| < (1)/(200),\left|\sin r-r^{2}\right|<\frac{1}{200},
근사값과 실제값의 차이( sin ⁡ r − r 2 sin ⁡ r − r 2 sin r-r^(2)\sin r-r^{2} )는 양수인가 음수인가? 추론 과정을 상세히 설명하시오.
5. (a) arctan x x xx 에 대한 3차 테일러 다항식 근사를 이용하여 방정식 arctan ⁡ x = x 2 arctan ⁡ x = x 2 arctan x=x^(2)\arctan x=x^{2} 의 비영근에 대한 근사값으로 r = r = r=r= ( 21 − 3 ) / 2 ( 21 − 3 ) / 2 (sqrt21-3)//2(\sqrt{21}-3) / 2 을 구하시오.
(b) 21 < 4.6 21 < 4.6 sqrt21 < 4.6\sqrt{21}<4.6 이고 2 16 = 65536 2 16 = 65536 2^(16)=655362^{16}=65536 일 때, (a) 부분의 근사가 다음 부등식을 만족함을 증명하라.
| r 2 − arctan ⁡ r | < 7 100 r 2 − arctan ⁡ r < 7 100 |r^(2)-arctan r| < (7)/(100)\left|r^{2}-\arctan r\right|<\frac{7}{100}
차이( r 2 − arctan ⁡ r r 2 − arctan ⁡ r r^(2)-arctan rr^{2}-\arctan r )는 양인가 음인가? 추론 과정을 상세히 설명하라.
6. Prove that ∫ 0 1 1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , ∫ 0 1   1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , int_(0)^(1)(1+x^(30))/(1+x^(60))dx=1+(c)/( 31),quad\int_{0}^{1} \frac{1+x^{30}}{1+x^{60}} d x=1+\frac{c}{31}, \quad where 0 < c < 1 0 < c < 1 quad0 < c < 1\quad 0<c<1.
6. ∫ 0 1 1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , ∫ 0 1   1 + x 30 1 + x 60 d x = 1 + c 31 , int_(0)^(1)(1+x^(30))/(1+x^(60))dx=1+(c)/( 31),quad\int_{0}^{1} \frac{1+x^{30}}{1+x^{60}} d x=1+\frac{c}{31}, \quad 임을 증명하라, 여기서 0 < c < 1 0 < c < 1 quad0 < c < 1\quad 0<c<1 .
7. Prove that 0.493948 < ∫ 0 1 / 2 1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < ∫ 0 1 / 2   1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < int_(0)^(1//2)(1)/(1+x^(4))dx < 0.4939580.493948<\int_{0}^{1 / 2} \frac{1}{1+x^{4}} d x<0.493958.
7. 0.493948 < ∫ 0 1 / 2 1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < ∫ 0 1 / 2   1 1 + x 4 d x < 0.493958 0.493948 < int_(0)^(1//2)(1)/(1+x^(4))dx < 0.4939580.493948<\int_{0}^{1 / 2} \frac{1}{1+x^{4}} d x<0.493958 임을 증명하라.
8. (a) 만약 0 ≤ x ≤ 1 2 0 ≤ x ≤ 1 2 0 <= x <= (1)/(2)0 \leq x \leq \frac{1}{2} 이면, sin ⁡ x = x − x 3 / 3 ! + r ( x ) sin ⁡ x = x − x 3 / 3 ! + r ( x ) sin x=x-x^(3)//3!+r(x)\sin x=x-x^{3} / 3!+r(x) 임을 보이시오. 여기서 | r ( x ) | ≤ ( 1 2 ) 5 / 5 | r ( x ) | ≤ 1 2 5 / 5 |r(x)| <= ((1)/(2))^(5)//5|r(x)| \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{5} / 5 !.
(b) (a) 부분의 추정치를 이용하여 적분 ∫ 0 2 / 2 sin ⁡ ( x 2 ) d x ∫ 0 2 / 2   sin ⁡ x 2 d x int_(0)^(sqrt2//2)sin(x^(2))dx\int_{0}^{\sqrt{2} / 2} \sin \left(x^{2}\right) d x 의 근사값을 구하시오. 오차에 대한 추정치도 반드시 제시하시오.
9. sin ⁡ x sin ⁡ x sin x\sin x 에 대한 테일러 공식의 처음 세 개의 0이 아닌 항을 사용하여 적분 ∫ 0 1 ( sin ⁡ x ) / x d x ∫ 0 1   ( sin ⁡ x ) / x d x int_(0)^(1)(sin x)//xdx\int_{0}^{1}(\sin x) / x d x 의 근사값을 구하고 오차에 대한 추정치를 제시하시오. [ x = 0 x = 0 x=0x=0 일 때 몫 ( sin ⁡ x ) / x ( sin ⁡ x ) / x (sin x)//x(\sin x) / x 이 1임을 이해하시오.]
10. 이 연습문제는 테일러 공식을 사용하여 π π pi\pi 을 계산하는 방법을 설명합니다. 이는 연습문제 3에서 주어진 arctan x x xx 의 테일러 공식을 기반으로 합니다. π π pi\pi 이 약 3.2이므로 1 4 π 1 4 π (1)/(4)pi\frac{1}{4} \pi 은 약 0.8 또는 4 5 4 5 (4)/(5)\frac{4}{5} 이고, 이는 약 4 arctan ⁡ 1 5 4 arctan ⁡ 1 5 4arctan((1)/(5))4 \arctan \frac{1}{5} 임을 이용합니다. α = arctan ⁡ 1 5 , β = 4 α − 1 4 π α = arctan ⁡ 1 5 , β = 4 α − 1 4 π alpha=arctan((1)/(5)),beta=4alpha-(1)/(4)pi\alpha=\arctan \frac{1}{5}, \beta=4 \alpha-\frac{1}{4} \pi 이라 합시다.
(a) Use the identity tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan(A+B)=(tan A+tan B)//(1-tan A tan B)\tan (A+B)=(\tan A+\tan B) /(1-\tan A \tan B) with A = B = α A = B = α A=B=alphaA=B=\alpha and then again with A = B = 2 α A = B = 2 α A=B=2alphaA=B=2 \alpha to get tan ⁡ 2 α = 5 12 tan ⁡ 2 α = 5 12 tan 2alpha=(5)/(12)\tan 2 \alpha=\frac{5}{12} and tan ⁡ 4 α = 120 119 tan ⁡ 4 α = 120 119 tan 4alpha=(120)/(119)\tan 4 \alpha=\frac{120}{119}. Then use the identity once more with A = 4 α , B = − 1 4 π A = 4 α , B = − 1 4 π A=4alpha,B=-(1)/(4)piA=4 \alpha, B=-\frac{1}{4} \pi to obtain tan ⁡ β = 1 239 tan ⁡ β = 1 239 tan beta=(1)/(239)\tan \beta=\frac{1}{239}. This yields the following remarkable identity discovered in 1706 by John Machin (1680-1751):
(a) A = B = α A = B = α A=B=alphaA=B=\alpha 과 함께 tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan ⁡ ( A + B ) = ( tan ⁡ A + tan ⁡ B ) / ( 1 − tan ⁡ A tan ⁡ B ) tan(A+B)=(tan A+tan B)//(1-tan A tan B)\tan (A+B)=(\tan A+\tan B) /(1-\tan A \tan B) 항등식을 사용하고, 다시 A = B = 2 α A = B = 2 α A=B=2alphaA=B=2 \alpha 과 함께 사용하여 tan ⁡ 2 α = 5 12 tan ⁡ 2 α = 5 12 tan 2alpha=(5)/(12)\tan 2 \alpha=\frac{5}{12} 과 tan ⁡ 4 α = 120 119 tan ⁡ 4 α = 120 119 tan 4alpha=(120)/(119)\tan 4 \alpha=\frac{120}{119} 을 얻는다. 그런 다음 A = 4 α , B = − 1 4 π A = 4 α , B = − 1 4 π A=4alpha,B=-(1)/(4)piA=4 \alpha, B=-\frac{1}{4} \pi 과 함께 한 번 더 항등식을 사용하여 tan ⁡ β = 1 239 tan ⁡ β = 1 239 tan beta=(1)/(239)\tan \beta=\frac{1}{239} 을 얻는다. 이는 1706년 John Machin(1680-1751)이 발견한 다음과 같은 놀라운 항등식을 제공한다:
π = 16 arctan ⁡ 1 5 − 4 arctan ⁡ 1 239 . π = 16 arctan ⁡ 1 5 − 4 arctan ⁡ 1 239 . pi=16 arctan((1)/(5))-4arctan((1)/(239)).\pi=16 \arctan \frac{1}{5}-4 \arctan \frac{1}{239} .
(b) Use the Taylor polynomial T 11 ( arctan ⁡ x ) T 11 ( arctan ⁡ x ) T_(11)(arctan x)T_{11}(\arctan x) with x = 1 5 x = 1 5 x=(1)/(5)x=\frac{1}{5} to show that
(b) 테일러 다항식 T 11 ( arctan ⁡ x ) T 11 ( arctan ⁡ x ) T_(11)(arctan x)T_{11}(\arctan x) 을 x = 1 5 x = 1 5 x=(1)/(5)x=\frac{1}{5} 과 함께 사용하여 다음을 보이세요:
3.158328934 < 16 arctan ⁡ 1 5 < 3.158328972 . 3.158328934 < 16 arctan ⁡ 1 5 < 3.158328972 . 3.158328934 < 16 arctan((1)/(5)) < 3.158328972.3.158328934<16 \arctan \frac{1}{5}<3.158328972 .
(c) 테일러 다항식 T 3 ( arctan ⁡ x ) T 3 ( arctan ⁡ x ) T_(3)(arctan x)T_{3}(\arctan x) 을 x = 1 239 x = 1 239 x=(1)/(239)x=\frac{1}{239} 과 함께 사용하여 다음을 보이세요:
− 0.016736309 < − 4 arctan ⁡ 1 239 < − 0.016736300 . − 0.016736309 < − 4 arctan ⁡ 1 239 < − 0.016736300 . -0.016736309 < -4arctan((1)/(239)) < -0.016736300.-0.016736309<-4 \arctan \frac{1}{239}<-0.016736300 .
(d) (a), (b), (c) 부분을 사용하여 π π pi\pi 의 값을 소수점 일곱 자리까지 정확하게 계산하면 3.1415926임을 보이세요.

7.9 테일러 공식의 오차에 대한 추가 설명. o o oo 표기법

f f ff 가 어떤 점 a a aa 을 포함하는 구간에서 연속인 ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1) 계 도함수를 가지면, 테일러 공식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + E n ( x ) . f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+E_(n)(x).f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+E_{n}(x) .
x x xx 를 a a aa 주변의 어떤 닫힌 구간 [ a − c , a + c ] [ a − c , a + c ] [a-c,a+c][a-c, a+c] 으로 제한하고, 이 구간에서 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 이 연속이라고 가정합시다. 그러면 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 는 이 구간에서 유계이므로 다음과 같은 형태의 부등식을 만족합니다.
| f ( n + 1 ) ( t ) | ≤ M , f ( n + 1 ) ( t ) ≤ M , |f^((n+1))(t)| <= M,\left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M,
여기서 M > 0 M > 0 M > 0M>0 입니다. 따라서 정리 7.7에 의해 다음과 같은 오차 추정을 얻을 수 있습니다.
| E n ( x ) | ≤ M | x − a | n + 1 ( n + 1 ) ! E n ( x ) ≤ M | x − a | n + 1 ( n + 1 ) ! |E_(n)(x)| <= M(|x-a|^(n+1))/((n+1)!)\left|E_{n}(x)\right| \leq M \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}
각 x x xx 에 대해 [ a − c , a + c ] [ a − c , a + c ] [a-c,a+c][a-c, a+c] 안에 있다. 만약 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 를 유지하고 이 부등식을 | x − a | n | x − a | n |x-a|^(n)|x-a|^{n} 으로 나누면, 우리는 다음을 발견한다.
0 ≤ | E n ( x ) ( x − a ) n | ≤ M ( n + 1 ) ! | x − a | . 0 ≤ E n ( x ) ( x − a ) n ≤ M ( n + 1 ) ! | x − a | . 0 <= |(E_(n)(x))/((x-a)^(n))| <= (M)/((n+1)!)|x-a|.0 \leq\left|\frac{E_{n}(x)}{(x-a)^{n}}\right| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a| .
이제 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 을 취하면, E n ( x ) / ( x − a ) n → 0 E n ( x ) / ( x − a ) n → 0 E_(n)(x)//(x-a)^(n)rarr0E_{n}(x) /(x-a)^{n} \rightarrow 0 임을 알 수 있다. 우리는 이 오차 E n ( x ) E n ( x ) E_(n)(x)E_{n}(x) 가 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에 대해 ( x − a ) n ( x − a ) n (x-a)^(n)(x-a)^{n} 보다 더 작은 차수라고 말함으로써 이를 설명한다.
다시 말해, 명시된 조건 하에서 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 a a aa 근처에서 n n nn 차수의 ( x − a ) ( x − a ) (x-a)(x-a) 다항식으로 근사될 수 있으며, 이 근사의 오차는 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에 대해 ( x − a ) n ( x − a ) n (x-a)^(n)(x-a)^{n} 보다 더 작은 차수이다.
1909년 E. Landau에 의해 도입된 특별한 표기법 † † †\dagger 은 특히 테일러 공식과 관련하여 사용될 때 매우 적절하다. 이것은 o o oo -표기법(리틀-오 표기법)이라고 불리며 다음과 같이 정의된다.
정의. a a aa 를 포함하는 어떤 구간에서 모든 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 에 대해 g ( x ) ≠ 0 g ( x ) ≠ 0 g(x)!=0g(x) \neq 0 라고 가정하자. 다음 표기법
f ( x ) = o ( g ( x ) ) as x → a f ( x ) = o ( g ( x ) )  as  x → a f(x)=o(g(x))quad" as "quad x rarr af(x)=o(g(x)) \quad \text { as } \quad x \rightarrow a
means that의미는
lim x → a f ( x ) g ( x ) = 0 lim x → a   f ( x ) g ( x ) = 0 lim_(x rarr a)(f(x))/(g(x))=0\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0
기호 f ( x ) = o ( g ( x ) ) f ( x ) = o ( g ( x ) ) f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) 는 " f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 의 리틀 오이다" 또는 " f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 은 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 보다 더 작은 차수이다"라고 읽으며, x x xx 가 a , f ( x ) a , f ( x ) a,f(x)a, f(x) 근처에서 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 에 비해 작다는 개념을 전달하기 위한 것이다.
예제 1. x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 f ( x ) = o ( 1 ) f ( x ) = o ( 1 ) f(x)=o(1)f(x)=o(1) 는 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 f ( x ) → 0 f ( x ) → 0 f(x)rarr0f(x) \rightarrow 0 를 의미한다.
예제 2. f ( x ) = o ( x ) f ( x ) = o ( x ) f(x)=o(x)f(x)=o(x) 가 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 f ( x ) x → 0 f ( x ) x → 0 (f(x))/(x)rarr0\frac{f(x)}{x} \rightarrow 0 는 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 을 의미한다.
f ( x ) = h ( x ) + o ( g ( x ) ) f ( x ) = h ( x ) + o ( g ( x ) ) f(x)=h(x)+o(g(x))f(x)=h(x)+o(g(x)) 형태의 방정식은 f ( x ) − h ( x ) = f ( x ) − h ( x ) = f(x)-h(x)=f(x)-h(x)= o ( g ( x ) ) o ( g ( x ) ) o(g(x))o(g(x)) 또는 다른 말로 [ f ( x ) − h ( x ) ] / g ( x ) → 0 [ f ( x ) − h ( x ) ] / g ( x ) → 0 [f(x)-h(x)]//g(x)rarr0[f(x)-h(x)] / g(x) \rightarrow 0 이 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때를 의미하는 것으로 이해된다.
예제 3. sin ⁡ x − x x = sin ⁡ x x − 1 → 0 sin ⁡ x − x x = sin ⁡ x x − 1 → 0 (sin x-x)/(x)=(sin x)/(x)-1rarr0\frac{\sin x-x}{x}=\frac{\sin x}{x}-1 \rightarrow 0 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 sin ⁡ x = x + o ( x ) sin ⁡ x = x + o ( x ) sin x=x+o(x)\sin x=x+o(x) 이 성립하므로 우리는 이를 확인할 수 있다.
테일러 공식의 오차에 대한 앞서 언급한 설명들은 이제 o o oo 표기법으로 표현될 수 있다. 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + o ( ( x − a ) n ) as x → a , f ( x ) = ∑ k = 0 n   f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + o ( x − a ) n  as  x → a , f(x)=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(a))/(k!)(x-a)^(k)+o((x-a)^(n))quad" as "quad x rarr a,f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+o\left((x-a)^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow a,
도함수 f ( n + 1 ) f ( n + 1 ) f^((n+1))f^{(n+1)} 가 점 a a aa 을 포함하는 어떤 닫힌 구간에서 연속일 때마다 성립한다. 이는 오차 항이 x x xx 이 a a aa 에 가까울 때 ( x − a ) n ( x − a ) n (x-a)^(n)(x-a)^{n} 에 비해 작다는 사실을 간결하게 표현한 것이다. 특히 앞서 논의한 내용으로부터, o o oo -표기법으로 표현된 테일러 공식의 몇 가지 예시를 다음과 같이 얻을 수 있다:
1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o ( x n ) as x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o ( x n ) as x → 0 e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o ( x n ) as x → 0 sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o ( x 2 n ) as x → 0 cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x 2 n + 1 ) as x → 0 arctan ⁡ x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 2 n − 1 + o ( x 2 n ) as x → 0 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o x n  as  x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o x n  as  x → 0 e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o x n  as  x → 0 sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + o x 2 n  as  x → 0 cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o x 2 n + 1  as  x → 0 arctan ⁡ x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 2 n − 1 + o x 2 n  as  x → 0 {:[(1)/(1-x)=1+x+x^(2)+cdots+x^(n)+o(x^(n))quad" as "quad x rarr0],[log(1+x)=x-(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)-(x^(4))/(4)+cdots+(-1)^(n-1)(x^(n))/(n)+o(x^(n))quad" as "quad x rarr0],[e^(x)=1+x+(x^(2))/(2!)+cdots+(x^(n))/(n!)+o(x^(n))quad" as "quad x rarr0],[sin x=x-(x^(3))/(3!)+(x^(5))/(5!)-(x^(7))/(7!)+cdots+(-1)^(n-1)(x^(2n-1))/((2n-1)!)+o(x^(2n))quad" as "quad x rarr0],[cos x=1-(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)-(x^(6))/(6!)+cdots+(-1)^(n)(x^(2n))/((2n)!)+o(x^(2n+1))quad" as "quad x rarr0],[arctan x=x-(x^(3))/(3)+(x^(5))/(5)-(x^(7))/(7)+cdots+(-1)^(n-1)(x^(2n-1))/(2n-1)+o(x^(2n))quad" as "quad x rarr0]:}\begin{aligned} \frac{1}{1-x} & =1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \log (1+x) & =x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ e^{x} & =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+o\left(x^{n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \sin x & =x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}+o\left(x^{2 n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \cos x & =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+o\left(x^{2 n+1}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \\ \arctan x & =x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+o\left(x^{2 n}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 \end{aligned}
테일러 근사 계산에서는 종종 o o oo -기호를 포함하는 여러 항을 결합해야 할 필요가 생긴다. 다음 정리에서는 o o oo -기호를 조작하기 위한 몇 가지 간단한 규칙을 다룬다. 이는 실제로 발생하는 대부분의 상황을 포괄한다.
정리 7.8. o o oo -기호의 대수. x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 다음이 성립한다:
(a) o ( g ( x ) ) ± o ( g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o ( g ( x ) ) ± o ( g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o(g(x))+-o(g(x))=o(g(x))o(g(x)) \pm o(g(x))=o(g(x)).
(b) o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o(cg(x))=o(g(x))quado(c g(x))=o(g(x)) \quad if c ≠ 0 c ≠ 0 quad c!=0\quad c \neq 0.
(b) c ≠ 0 c ≠ 0 quad c!=0\quad c \neq 0 일 경우 o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o ( c g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) o(cg(x))=o(g(x))quado(c g(x))=o(g(x)) \quad .
© f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f(x)*o(g(x))=o(f(x)g(x))f(x) \cdot o(g(x))=o(f(x) g(x)).(c) f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) ⋅ o ( g ( x ) ) = o ( f ( x ) g ( x ) ) f(x)*o(g(x))=o(f(x)g(x))f(x) \cdot o(g(x))=o(f(x) g(x)) .
(d) o ( o ( g ( x ) ) ) = o ( g ( x ) ) o ( o ( g ( x ) ) ) = o ( g ( x ) ) o(o(g(x)))=o(g(x))o(o(g(x)))=o(g(x)).
(e) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) (1)/(1+g(x))=1-g(x)+o(g(x))quad\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+o(g(x)) \quad if g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0quadg(x) \rightarrow 0 \quad as x → a x → a quad x rarr a\quad x \rightarrow a.
(e) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + o ( g ( x ) ) (1)/(1+g(x))=1-g(x)+o(g(x))quad\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+o(g(x)) \quad 만약 g ( x ) → 0 g ( x ) → 0 g(x)rarr0quadg(x) \rightarrow 0 \quad 이 x → a x → a quad x rarr a\quad x \rightarrow a 일 때.
증명. (a) 부분의 명제는 f 1 ( x ) = o ( g ( x ) ) f 1 ( x ) = o ( g ( x ) ) f_(1)(x)=o(g(x))f_{1}(x)=o(g(x)) 이고 f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f_(2)(x)=o(g(x))f_{2}(x)=o(g(x)) 이면 f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) = o ( g ( x ) ) f_(1)(x)+-f_(2)(x)=o(g(x))f_{1}(x) \pm f_{2}(x)=o(g(x)) 이라는 것을 의미한다고 이해된다. 그러나 우리는
f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) = f 1 ( x ) g ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) , f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) = f 1 ( x ) g ( x ) ± f 2 ( x ) g ( x ) , (f_(1)(x)+-f_(2)(x))/(g(x))=(f_(1)(x))/(g(x))+-(f_(2)(x))/(g(x)),\frac{f_{1}(x) \pm f_{2}(x)}{g(x)}=\frac{f_{1}(x)}{g(x)} \pm \frac{f_{2}(x)}{g(x)},
오른쪽의 각 항이 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 0에 접근하므로, (a) 부분이 증명된다. (b), (c), (d)의 명제들도 유사한 방법으로 증명된다.
(e)를 증명하기 위해, 우리는 대수적 항등식
1 1 + u = 1 − u + u u 1 + u 1 1 + u = 1 − u + u u 1 + u (1)/(1+u)=1-u+u(u)/(1+u)\frac{1}{1+u}=1-u+u \frac{u}{1+u}
을 사용하고, 여기서 u u uu 을 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 로 대체한 후 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 g ( x ) 1 + g ( x ) → 0 g ( x ) 1 + g ( x ) → 0 (g(x))/(1+g(x))rarr0\frac{g(x)}{1+g(x)} \rightarrow 0 이 됨을 주목한다.
예제 1. tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + o x 3 tan x=x+(1)/(3)x^(3)+o(x^(3))\tan x=x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) 일 때 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 임을 증명하라.
풀이. 사인과 코사인의 테일러 근사를 사용한다. 정리 7.8의 (e) 부분에서 g ( x ) = − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) g ( x ) = − 1 2 x 2 + o x 3 g(x)=-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3))g(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right) 을 대입하면 다음을 얻는다.
1 cos ⁡ x = 1 1 − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) = 1 + 1 2 x 2 + o ( x 2 ) as x → 0 . 1 cos ⁡ x = 1 1 − 1 2 x 2 + o x 3 = 1 + 1 2 x 2 + o x 2  as  x → 0 . (1)/(cos x)=(1)/(1-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3)))=1+(1)/(2)x^(2)+o(x^(2))quad" as "quad x rarr0.\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right)}=1+\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 .
따라서, 우리는 다음을 얻습니다.
tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = ( x − 1 6 x 3 + o ( x 4 ) ) ( 1 + 1 2 x 2 + o ( x 2 ) ) = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) . tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = x − 1 6 x 3 + o x 4 1 + 1 2 x 2 + o x 2 = x + 1 3 x 3 + o x 3 . tan x=(sin x)/(cos x)=(x-(1)/(6)x^(3)+o(x^(4)))(1+(1)/(2)x^(2)+o(x^(2)))=x+(1)/(3)x^(3)+o(x^(3)).\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\left(x-\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{4}\right)\right)\left(1+\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)=x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right) .
예제 2. ( 1 + x ) 1 / x = e ⋅ ( 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o ( x 2 ) ) ( 1 + x ) 1 / x = e ⋅ 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o x 2 (1+x)^(1//x)=e*(1-(x)/(2)+(11x^(2))/(24)+o(x^(2)))quad(1+x)^{1 / x}=e \cdot\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11 x^{2}}{24}+o\left(x^{2}\right)\right) \quad 일 때 x → 0 x → 0 quad x rarr0\quad x \rightarrow 0 임을 증명하라.
해답. ( 1 + x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + x ) ( 1 + x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + x ) (1+x)^(1//x)=e^((1//x)log(1+x))(1+x)^{1 / x}=e^{(1 / x) \log (1+x)} 이므로, log ⁡ ( 1 + x ) log ⁡ ( 1 + x ) log(1+x)\log (1+x) 에 대한 다항식 근사부터 시작합니다. 3차 근사를 취하면 다음과 같습니다.
log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + o ( x 3 ) , log ⁡ ( 1 + x ) x = 1 − x 2 + x 2 3 + o ( x 2 ) , log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + o x 3 , log ⁡ ( 1 + x ) x = 1 − x 2 + x 2 3 + o x 2 , log(1+x)=x-(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)+o(x^(3)),quad(log(1+x))/(x)=1-(x)/(2)+(x^(2))/(3)+o(x^(2)),\log (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right), \quad \frac{\log (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{2}\right),
따라서 우리는 다음을 얻습니다.
( 1 + x ) 1 / x = exp ⁡ ( 1 − x / 2 + x 2 / 3 + o ( x 2 ) ) = e ⋅ e u ( 1 + x ) 1 / x = exp ⁡ 1 − x / 2 + x 2 / 3 + o x 2 = e ⋅ e u (1+x)^(1//x)=exp(1-x//2+x^(2)//3+o(x^(2)))=e*e^(u)(1+x)^{1 / x}=\exp \left(1-x / 2+x^{2} / 3+o\left(x^{2}\right)\right)=e \cdot e^{u}
여기서 u = − x / 2 + x 2 / 3 + o ( x 2 ) u = − x / 2 + x 2 / 3 + o x 2 u=-x//2+x^(2)//3+o(x^(2))u=-x / 2+x^{2} / 3+o\left(x^{2}\right) 입니다. 그러나 u → 0 u → 0 u rarr0u \rightarrow 0 일 때 e u = 1 + u + 1 2 u 2 + o ( u 2 ) e u = 1 + u + 1 2 u 2 + o u 2 e^(u)=1+u+(1)/(2)u^(2)+o(u^(2))e^{u}=1+u+\frac{1}{2} u^{2}+o\left(u^{2}\right) 이므로, 우리는 다음을 얻습니다.
e u = 1 − x 2 + x 2 3 + o ( x 2 ) + 1 2 ( − x 2 + x 2 3 + o ( x 2 ) ) 2 + o ( x 2 ) = 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o ( x 2 ) . e u = 1 − x 2 + x 2 3 + o x 2 + 1 2 − x 2 + x 2 3 + o x 2 2 + o x 2 = 1 − x 2 + 11 x 2 24 + o x 2 . e^(u)=1-(x)/(2)+(x^(2))/(3)+o(x^(2))+(1)/(2)(-(x)/(2)+(x^(2))/(3)+o(x^(2)))^(2)+o(x^(2))=1-(x)/(2)+(11x^(2))/(24)+o(x^(2)).e^{u}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{2}\right)\right)^{2}+o\left(x^{2}\right)=1-\frac{x}{2}+\frac{11 x^{2}}{24}+o\left(x^{2}\right) .
이것을 방정식 (7.18)에 사용하면 원하는 공식을 얻을 수 있습니다.

7.10 부정형에의 응용

우리는 이미 다항식 근사가 함수 값 계산에 어떻게 사용되는지 설명했습니다. 이들은 극한 계산에도 도움이 될 수 있습니다. 몇 가지 예를 통해 설명하겠습니다.
예제 1. a a aa 과 b b bb 이 양수일 때, 다음 극한을 구하시오
lim x → 0 a x − b x x . lim x → 0   a x − b x x . lim_(x rarr0)(a^(x)-b^(x))/(x).\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-b^{x}}{x} .
해결. 이 문제는 분자와 분모의 극한을 따로 계산해서 풀 수 없습니다. 왜냐하면 분모는 0에 수렴하고 극한에 대한 몫 정리가 적용되지 않기 때문입니다. 이 경우 분자도 0에 수렴하며, 이 몫은 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 "부정형 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 "을 가진다고 말합니다. 테일러 공식과 o o oo 표기법은 종종 이와 같은 부정형의 극한을 매우 간단하게 계산할 수 있게 해줍니다. 핵심 아이디어는 분자 a x − b x a x − b x a^(x)-b^(x)a^{x}-b^{x} 을 x x xx 의 다항식으로 근사한 다음, x x xx 으로 나누고 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 으로 보내는 것입니다. 우리는 f ( x ) = a x − b x f ( x ) = a x − b x f(x)=a^(x)-b^(x)f(x)=a^{x}-b^{x} 에 직접 테일러 공식을 적용할 수도 있지만, a x = e x log ⁡ a a x = e x log ⁡ a a^(x)=e^(x log a)a^{x}=e^{x \log a} 과 b x = e x log ⁡ b b x = e x log ⁡ b b^(x)=e^(x log b)b^{x}=e^{x \log b} 이기 때문에 이 경우에는 지수 함수에 대해 이미 유도된 다항식 근사를 사용하는 것이 더 간단합니다. 선형 근사부터 시작한다면
e t = 1 + t + o ( t ) as t → 0 e t = 1 + t + o ( t )  as  t → 0 e^(t)=1+t+o(t)quad" as "quad t rarr0e^{t}=1+t+o(t) \quad \text { as } \quad t \rightarrow 0
t t tt 을 각각 x log ⁡ a x log ⁡ a x log ax \log a 과 x log ⁡ b x log ⁡ b x log bx \log b 으로 대체하면, 우리는 다음을 발견한다.
a x = 1 + x log ⁡ a + o ( x ) and b x = 1 + x log ⁡ b + o ( x ) as x → 0 . a x = 1 + x log ⁡ a + o ( x )  and  b x = 1 + x log ⁡ b + o ( x )  as  x → 0 . a^(x)=1+x log a+o(x)quad" and "quadb^(x)=1+x log b+o(x)quad" as "quad x rarr0.a^{x}=1+x \log a+o(x) \quad \text { and } \quad b^{x}=1+x \log b+o(x) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 .
여기서 우리는 o ( x log ⁡ a ) = o ( x ) o ( x log ⁡ a ) = o ( x ) o(x log a)=o(x)o(x \log a)=o(x) 과 o ( x log ⁡ b ) = o ( x ) o ( x log ⁡ b ) = o ( x ) o(x log b)=o(x)o(x \log b)=o(x) 이라는 사실을 사용했다. 이제 빼고 o ( x ) − o ( x ) = o ( x ) o ( x ) − o ( x ) = o ( x ) o(x)-o(x)=o(x)o(x)-o(x)=o(x) 임을 주목하면, 우리는 a x − b x = x ( log ⁡ a − log ⁡ b ) + o ( x ) a x − b x = x ( log ⁡ a − log ⁡ b ) + o ( x ) a^(x)-b^(x)=x(log a-log b)+o(x)a^{x}-b^{x}=x(\log a-\log b)+o(x) 을 발견한다. x x xx 으로 나누고 관계식 o ( x ) / x = o ( 1 ) o ( x ) / x = o ( 1 ) o(x)//x=o(1)o(x) / x=o(1) 을 사용하면, 우리는 다음을 얻는다.
a x − b x x = log ⁡ a b + o ( 1 ) → log ⁡ a b as x → 0 . a x − b x x = log ⁡ a b + o ( 1 ) → log ⁡ a b  as  x → 0 . (a^(x)-b^(x))/(x)=log((a)/(b))+o(1)rarr log((a)/(b))quad" as "quad x rarr0.\frac{a^{x}-b^{x}}{x}=\log \frac{a}{b}+o(1) \rightarrow \log \frac{a}{b} \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0 .
example 2. Prove that lim x → 0 1 x ( cot ⁡ x − 1 x ) = − 1 3 lim x → 0   1 x cot ⁡ x − 1 x = − 1 3 lim_(x rarr0)(1)/(x)(cot x-(1)/(x))=-(1)/(3)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3}.
예제 2. lim x → 0 1 x ( cot ⁡ x − 1 x ) = − 1 3 lim x → 0   1 x cot ⁡ x − 1 x = − 1 3 lim_(x rarr0)(1)/(x)(cot x-(1)/(x))=-(1)/(3)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3} 임을 증명하라.
해답. 우리는 7.9절의 예제 1과 정리 7.8(e)를 사용하여 다음과 같이 쓴다.
cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x = 1 x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) = 1 x 1 1 + 1 3 x 2 + o ( x 2 ) = 1 x ( 1 − 1 3 x 2 + o ( x 2 ) ) = 1 x − 1 3 x + o ( x ) cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x = 1 x + 1 3 x 3 + o x 3 = 1 x 1 1 + 1 3 x 2 + o x 2 = 1 x 1 − 1 3 x 2 + o x 2 = 1 x − 1 3 x + o ( x ) {:[cot x=(1)/(tan x)=(1)/(x+(1)/(3)x^(3)+o(x^(3)))=(1)/(x)(1)/(1+(1)/(3)x^(2)+o(x^(2)))],[=(1)/(x)(1-(1)/(3)x^(2)+o(x^(2)))=(1)/(x)-(1)/(3)x+o(x)]:}\begin{aligned} \cot x & =\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{x+\frac{1}{3} x^{3}+o\left(x^{3}\right)}=\frac{1}{x} \frac{1}{1+\frac{1}{3} x^{2}+o\left(x^{2}\right)} \\ & =\frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{3} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3} x+o(x) \end{aligned}
따라서, 우리는 다음을 얻습니다.
1 x ( cot ⁡ x − 1 x ) = − 1 3 + o ( 1 ) → − 1 3 as x → 0 1 x cot ⁡ x − 1 x = − 1 3 + o ( 1 ) → − 1 3  as  x → 0 (1)/(x)(cot x-(1)/(x))=-(1)/(3)+o(1)rarr-(1)/(3)quad" as "quad x rarr0\frac{1}{x}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3}+o(1) \rightarrow-\frac{1}{3} \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0
예제 3. 모든 실수 a a aa 에 대해 lim x → 0 log ⁡ ( 1 + a x ) x = a lim x → 0   log ⁡ ( 1 + a x ) x = a lim_(x rarr0)(log(1+ax))/(x)=a quad\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+a x)}{x}=a \quad 임을 증명하시오.
풀이. a = 0 a = 0 a=0a=0 인 경우, 결과는 자명하게 성립합니다. a ≠ 0 a ≠ 0 a!=0a \neq 0 인 경우, 우리는 선형 근사 log ⁡ ( 1 + x ) = x + o ( x ) log ⁡ ( 1 + x ) = x + o ( x ) log(1+x)=x+o(x)\log (1+x)=x+o(x) 를 사용합니다. x x xx 을 a x a x axa x 로 대체하면, log ⁡ ( 1 + a x ) = a x + o ( a x ) = log ⁡ ( 1 + a x ) = a x + o ( a x ) = log(1+ax)=ax+o(ax)=\log (1+a x)=a x+o(a x)= a x + o ( x ) a x + o ( x ) ax+o(x)a x+o(x) 을 얻습니다. x x xx 로 나누고 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 로 극한을 취하면, 극한값 a a aa 을 얻습니다.
예제 4. 모든 실수 a a aa 에 대해 다음이 성립함을 증명하시오.
lim x → 0 ( 1 + a x ) 1 / x = e a lim x → 0   ( 1 + a x ) 1 / x = e a lim_(x rarr0)(1+ax)^(1//x)=e^(a)\lim _{x \rightarrow 0}(1+a x)^{1 / x}=e^{a}
해답. 우리는 단순히 ( 1 + a x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + a x ) ( 1 + a x ) 1 / x = e ( 1 / x ) log ⁡ ( 1 + a x ) (1+ax)^(1//x)=e^((1//x)log(1+ax))(1+a x)^{1 / x}=e^{(1 / x) \log (1+a x)} 을 주목하고 지수 함수의 연속성과 함께 예제 3의 결과를 사용합니다.
(7.19)에서 a x a x axa x 을 y y yy 으로 대체하면, 또 다른 중요한 극한 관계를 찾을 수 있습니다:
lim y → 0 ( 1 + y ) a / y = e a lim y → 0   ( 1 + y ) a / y = e a lim_(y rarr0)(1+y)^(a//y)=e^(a)\lim _{y \rightarrow 0}(1+y)^{a / y}=e^{a}
때로는 이러한 극한 관계들이 지수 함수 이론의 출발점으로 취급되기도 합니다.

7.11 Exercises7.11 연습문제

  1. P ( x ) P ( x ) P(x)P(x) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 2 x = P ( x ) + o ( x 2 ) 2 x = P ( x ) + o x 2 2^(x)=P(x)+o(x^(2))2^{x}=P(x)+o\left(x^{2}\right) 이 되는 이차 다항식을 구하시오.
  2. P ( x ) P ( x ) P(x)P(x) 이 x → 1 x → 1 x rarr1x \rightarrow 1 일 때 x cos ⁡ x = P ( x ) + o ( ( x − 1 ) 3 ) x cos ⁡ x = P ( x ) + o ( x − 1 ) 3 x cos x=P(x)+o((x-1)^(3))x \cos x=P(x)+o\left((x-1)^{3}\right) 이 되는 삼차 다항식을 구하시오.
  3. P ( x ) P ( x ) P(x)P(x) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 sin ⁡ ( x − x 2 ) = P ( x ) + o ( x 6 ) sin ⁡ x − x 2 = P ( x ) + o x 6 sin(x-x^(2))=P(x)+o(x^(6))\sin \left(x-x^{2}\right)=P(x)+o\left(x^{6}\right) 이 되는 최소 차수의 다항식을 구하시오.
  4. a , b , c a , b , c a,b,ca, b, c 이 x → 1 x → 1 x rarr1x \rightarrow 1 일 때 log ⁡ x = a + b ( x − 1 ) + c ( x − 1 ) 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) log ⁡ x = a + b ( x − 1 ) + c ( x − 1 ) 2 + o ( x − 1 ) 2 log x=a+b(x-1)+c(x-1)^(2)+o((x-1)^(2))\log x=a+b(x-1)+c(x-1)^{2}+o\left((x-1)^{2}\right) 이 되는 상수들을 구하시오.
  5. cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o x 3 cos x=1-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3))\cos x=1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o ( x 3 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + o x 3 cos x=1-(1)/(2)x^(2)+o(x^(3))\cos x=1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{3}\right) 이 x − 2 ( 1 − cos ⁡ x ) → 1 2 x − 2 ( 1 − cos ⁡ x ) → 1 2 x^(-2)(1-cos x)rarr(1)/(2)x^{-2}(1-\cos x) \rightarrow \frac{1}{2} 으로 수렴함을 증명하라. 같은 방법으로 x − 4 ( 1 − cos ⁡ 2 x − 2 x 2 ) x − 4 1 − cos ⁡ 2 x − 2 x 2 x^(-4)(1-cos 2x-2x^(2))x^{-4}\left(1-\cos 2 x-2 x^{2}\right) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때의 극한을 구하라.
연습문제 6부터 29까지의 극한을 계산하라.
6. lim x → 0 sin ⁡ a x sin ⁡ b x lim x → 0   sin ⁡ a x sin ⁡ b x lim_(x rarr0)(sin ax)/(sin bx)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\sin b x}.
18. lim x → 1 [ sin ⁡ ( π / 2 x ) ] ( log ⁡ x ) ( x 3 + 5 ) ( x − 1 ) lim x → 1   [ sin ⁡ ( π / 2 x ) ] ( log ⁡ x ) x 3 + 5 ( x − 1 ) lim_(x rarr1)([sin(pi//2x)](log x))/((x^(3)+5)(x-1))\lim _{x \rightarrow 1} \frac{[\sin (\pi / 2 x)](\log x)}{\left(x^{3}+5\right)(x-1)}.
7. lim x → 0 tan ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x lim x → 0   tan ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x lim_(x rarr0)(tan 2x)/(sin 3x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2 x}{\sin 3 x}.
19. lim x → 0 cosh ⁡ x − cos ⁡ x x 2 lim x → 0   cosh ⁡ x − cos ⁡ x x 2 lim_(x rarr0)(cosh x-cos x)/(x^(2))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cosh x-\cos x}{x^{2}}.
8. lim x → 0 sin ⁡ x − x x 3 lim x → 0   sin ⁡ x − x x 3 lim_(x rarr0)(sin x-x)/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}.
20. lim x → 0 3 tan ⁡ 4 x − 12 tan ⁡ x 3 sin ⁡ 4 x − 12 sin ⁡ x lim x → 0   3 tan ⁡ 4 x − 12 tan ⁡ x 3 sin ⁡ 4 x − 12 sin ⁡ x lim_(x rarr0)(3tan 4x-12 tan x)/(3sin 4x-12 sin x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \tan 4 x-12 \tan x}{3 \sin 4 x-12 \sin x}.
9. lim x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) e 2 x − 1 lim x → 0   log ⁡ ( 1 + x ) e 2 x − 1 lim_(x rarr0)(log(1+x))/(e^(2x)-1)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{e^{2 x}-1}.
21. lim x → 0 a x − a sin ⁡ x x 3 lim x → 0   a x − a sin ⁡ x x 3 lim_(x rarr0)(a^(x)-a^(sin x))/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{\sin x}}{x^{3}}.
10. lim x → 0 1 − cos 2 ⁡ x x tan ⁡ x lim x → 0   1 − cos 2 ⁡ x x tan ⁡ x lim_(x rarr0)(1-cos^(2)x)/(x tan x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x \tan x}.
22. lim x → 0 cos ⁡ ( sin ⁡ x ) − cos ⁡ x x 4 lim x → 0   cos ⁡ ( sin ⁡ x ) − cos ⁡ x x 4 lim_(x rarr0)(cos(sin x)-cos x)/(x^(4))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}.
11. lim x → 0 sin ⁡ x arctan ⁡ x lim x → 0   sin ⁡ x arctan ⁡ x lim_(x rarr0)(sin x)/(arctan x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\arctan x}.
23. lim x → 1 x 1 / ( 1 − x ) lim x → 1   x 1 / ( 1 − x ) lim_(x rarr1)x^(1//(1-x))\lim _{x \rightarrow 1} x^{1 /(1-x)}.
12. lim x → 0 a x − 1 b x − 1 , b ≠ 1 lim x → 0   a x − 1 b x − 1 , b ≠ 1 lim_(x rarr0)(a^(x)-1)/(b^(x)-1),quad b!=1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{b^{x}-1}, \quad b \neq 1.
24. lim x → 0 ( x + e 2 x ) 1 / x lim x → 0   x + e 2 x 1 / x lim_(x rarr0)(x+e^(2x))^(1//x)\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+e^{2 x}\right)^{1 / x}.
13. lim x → 1 log ⁡ x x 2 + x − 2 lim x → 1   log ⁡ x x 2 + x − 2 lim_(x rarr1)(log x)/(x^(2)+x-2)\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{x^{2}+x-2}.
25. lim x → 0 ( 1 + x ) 1 / x − e x lim x → 0   ( 1 + x ) 1 / x − e x lim_(x rarr0)((1+x)^(1//x)-e)/(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{1 / x}-e}{x}.
14. lim x → 0 1 − cos ⁡ x 2 x 2 sin ⁡ x 2 lim x → 0   1 − cos ⁡ x 2 x 2 sin ⁡ x 2 lim_(x rarr0)(1-cos x^(2))/(x^(2)sin x^(2))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x^{2}}{x^{2} \sin x^{2}}.
26. lim x → 0 ( ( 1 + x ) 1 / x e ) 1 / x lim x → 0   ( 1 + x ) 1 / x e 1 / x lim_(x rarr0)(((1+x)^(1//x))/(e))^(1//x)\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{(1+x)^{1 / x}}{e}\right)^{1 / x}.
15. lim x → 0 x ( e x + 1 ) − 2 ( e x − 1 ) x 3 lim x → 0   x e x + 1 − 2 e x − 1 x 3 lim_(x rarr0)(x(e^(x)+1)-2(e^(x)-1))/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(e^{x}+1\right)-2\left(e^{x}-1\right)}{x^{3}}.
27. lim x → 0 ( arcsin ⁡ x x ) 1 / x 2 lim x → 0   arcsin ⁡ x x 1 / x 2 lim_(x rarr0)((arcsin x)/(x))^(1//x^(2))\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{1 / x^{2}}.
16. lim x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) − x 1 − cos ⁡ x lim x → 0   log ⁡ ( 1 + x ) − x 1 − cos ⁡ x lim_(x rarr0)(log(1+x)-x)/(1-cos x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)-x}{1-\cos x}.
28. lim x → 0 ( 1 x − 1 e x − 1 ) lim x → 0   1 x − 1 e x − 1 lim_(x rarr0)((1)/(x)-(1)/(e^(x)-1))\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).
17. lim x → 1 2 π cos ⁡ x x − 1 2 π lim x → 1 2 π   cos ⁡ x x − 1 2 π lim_(x rarr(1)/(2)pi)(cos x)/(x-(1)/(2)pi)\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2} \pi} \frac{\cos x}{x-\frac{1}{2} \pi}.
29. lim x → 1 ( 1 log ⁡ x − 1 x − 1 ) lim x → 1   1 log ⁡ x − 1 x − 1 lim_(x rarr1)((1)/(log x)-(1)/(x-1))\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\log x}-\frac{1}{x-1}\right).
30. 상수 a a aa 이 어떤 값일 때 x − 2 ( e a x − e x − x ) x − 2 e a x − e x − x x^(-2)(e^(ax)-e^(x)-x)x^{-2}\left(e^{a x}-e^{x}-x\right) 이 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 으로 유한한 극한에 수렴하는가? 이 극한값은 무엇인가?
31. 0을 포함하는 어떤 구간에서 도함수를 갖는 두 함수 f f ff 과 g g gg 이 주어졌으며, g g gg 은 양수이다. 또한 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 f ( x ) = o ( g ( x ) ) f ( x ) = o ( g ( x ) ) f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) 이라고 가정하자. 다음 명제들을 증명하거나 반증하라:
(a) ∫ 0 x f ( t ) d t = o ( ∫ 0 x g ( t ) d t ) ∫ 0 x   f ( t ) d t = o ∫ 0 x   g ( t ) d t int_(0)^(x)f(t)dt=o(int_(0)^(x)g(t)dt)\int_{0}^{x} f(t) d t=o\left(\int_{0}^{x} g(t) d t\right) as x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0,
(a) x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 ∫ 0 x f ( t ) d t = o ( ∫ 0 x g ( t ) d t ) ∫ 0 x   f ( t ) d t = o ∫ 0 x   g ( t ) d t int_(0)^(x)f(t)dt=o(int_(0)^(x)g(t)dt)\int_{0}^{x} f(t) d t=o\left(\int_{0}^{x} g(t) d t\right) ,
(b) f ′ ( x ) = o ( g ′ ( x ) ) f ′ ( x ) = o g ′ ( x ) f^(')(x)=o(g^(')(x))f^{\prime}(x)=o\left(g^{\prime}(x)\right) as x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0.
(b) x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 f ′ ( x ) = o ( g ′ ( x ) ) f ′ ( x ) = o g ′ ( x ) f^(')(x)=o(g^(')(x))f^{\prime}(x)=o\left(g^{\prime}(x)\right) .
32. (a) g ( x ) = o ( 1 ) g ( x ) = o ( 1 ) g(x)=o(1)g(x)=o(1) 일 때 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 이라면, 다음을 증명하시오.
1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + g 2 ( x ) + o ( g 2 ( x ) ) as x → 0 1 1 + g ( x ) = 1 − g ( x ) + g 2 ( x ) + o g 2 ( x )  as  x → 0 (1)/(1+g(x))=1-g(x)+g^(2)(x)+o(g^(2)(x))quad" as "quad x rarr0\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+g^{2}(x)+o\left(g^{2}(x)\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow 0
(b) (a)를 이용하여 tan ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + o ( x 5 ) tan ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + o x 5 tan x=x+(x^(3))/(3)+(2x^(5))/(15)+o(x^(5))quad\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2 x^{5}}{15}+o\left(x^{5}\right) \quad 일 때 x → 0 x → 0 quad x rarr0\quad x \rightarrow 0 임을 증명하시오.
33. 함수 f f ff 는 모든 곳에서 연속인 3차 도함수를 가지며 다음 관계를 만족합니다.
lim x → 0 ( 1 + x + f ( x ) x ) 1 / x = e 3 . lim x → 0   1 + x + f ( x ) x 1 / x = e 3 . lim_(x rarr0)(1+x+(f(x))/(x))^(1//x)=e^(3).\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{1 / x}=e^{3} .
Compute f ( 0 ) , f ′ ( 0 ) , f ′ ′ ( 0 ) f ( 0 ) , f ′ ( 0 ) , f ′ ′ ( 0 ) f(0),f^(')(0),f^('')(0)f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0), and lim x → 0 ( 1 + f ( x ) x ) 1 / x lim x → 0   1 + f ( x ) x 1 / x lim_(x rarr0)(1+(f(x))/(x))^(1//x)\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1 / x}.
f ( 0 ) , f ′ ( 0 ) , f ′ ′ ( 0 ) f ( 0 ) , f ′ ( 0 ) , f ′ ′ ( 0 ) f(0),f^(')(0),f^('')(0)f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0) 을 계산하고, lim x → 0 ( 1 + f ( x ) x ) 1 / x lim x → 0   1 + f ( x ) x 1 / x lim_(x rarr0)(1+(f(x))/(x))^(1//x)\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1 / x} 을 계산하라.
[힌트: 만약 lim x → 0 g ( x ) = A lim x → 0   g ( x ) = A lim_(x rarr0)g(x)=A\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=A 라면, x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 g ( x ) = A + o ( 1 ) g ( x ) = A + o ( 1 ) g(x)=A+o(1)g(x)=A+o(1) 이 됩니다.]

7.12 부정형 0 / 0 0 / 0 0//0\mathbf{0} / \mathbf{0} 에 대한 로피탈의 법칙

앞서 여러 절에서 우리는 분자 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 와 분모 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 가 모두 0에 접근하는 경우의 몫 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 의 극한을 계산한 바 있다. 이러한 예시들에서 몫 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 은 "부정형 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 "을 갖는다고 말한다.
부정형 문제를 해결하는 한 가지 방법은 앞선 예시들에서 다룬 것처럼 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 와 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 에 대한 다항식 근사를 구하는 것이다. 때로는 L L LL 로피탈의 법칙으로 알려진 미분 기법을 사용하여 작업을 단축할 수 있다. † † †\dagger 이 방법의 기본 아이디어는 도함수의 몫 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 을 연구함으로써 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 에 대한 정보를 추론하려는 것이다.
로피탈의 법칙을 서술하기 전에, 왜 도함수의 몫 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 이 몫 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 과 관련이 있는지 살펴보자. f ( a ) = g ( a ) = 0 f ( a ) = g ( a ) = 0 f(a)=g(a)=0f(a)=g(a)=0 인 두 함수 f f ff 와 g g gg 이 있다고 가정하자. 그러면 x ≠ a x ≠ a x!=ax \neq a 에 대해 다음이 성립한다.
f ( x ) g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = f ( x ) − f ( a ) x − a / g ( x ) − g ( a ) x − a . f ( x ) g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = f ( x ) − f ( a ) x − a / g ( x ) − g ( a ) x − a . (f(x))/(g(x))=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))=(f(x)-f(a))/(x-a)//(g(x)-g(a))/(x-a).\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} / \frac{g(x)-g(a)}{x-a} .
만약 도함수 f ′ ( a ) f ′ ( a ) f^(')(a)f^{\prime}(a) 와 g ′ ( a ) g ′ ( a ) g^(')(a)g^{\prime}(a) 이 존재하고, g ′ ( a ) ≠ 0 g ′ ( a ) ≠ 0 g^(')(a)!=0g^{\prime}(a) \neq 0 이라면, x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 일 때 우변의 몫은 f ′ ( a ) / g ′ ( a ) f ′ ( a ) / g ′ ( a ) f^(')(a)//g^(')(a)f^{\prime}(a) / g^{\prime}(a) 에 접근하므로 f ( x ) / g ( x ) → f ′ ( a ) / g ′ ( a ) f ( x ) / g ( x ) → f ′ ( a ) / g ′ ( a ) f(x)//g(x)rarrf^(')(a)//g^(')(a)f(x) / g(x) \rightarrow f^{\prime}(a) / g^{\prime}(a) 이 된다.
example. Compute lim x → 0 1 − e 2 x x lim x → 0   1 − e 2 x x lim_(x rarr0)(1-e^(2x))/(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-e^{2 x}}{x}.
예시. lim x → 0 1 − e 2 x x lim x → 0   1 − e 2 x x lim_(x rarr0)(1-e^(2x))/(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-e^{2 x}}{x} 을 계산하라.
풀이. 여기서 f ( x ) = 1 − e 2 x f ( x ) = 1 − e 2 x f(x)=1-e^(2x)f(x)=1-e^{2 x} 이고 g ( x ) = x g ( x ) = x g(x)=xg(x)=x 이므로 f ′ ( x ) = − 2 e 2 x , g ′ ( x ) = 1 f ′ ( x ) = − 2 e 2 x , g ′ ( x ) = 1 f^(')(x)=-2e^(2x),g^(')(x)=1f^{\prime}(x)=-2 e^{2 x}, g^{\prime}(x)=1 이다. 따라서 f ′ ( 0 ) / g ′ ( 0 ) = − 2 f ′ ( 0 ) / g ′ ( 0 ) = − 2 f^(')(0)//g^(')(0)=-2f^{\prime}(0) / g^{\prime}(0)=-2 이므로, 구하는 극한값은 -2이다.
로피탈의 법칙에서는 점 x = a x = a x=ax=a 에서 f , g f , g f,gf, g 이나 그 도함수들에 대한 어떠한 가정도 하지 않는다. 대신 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 가 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에 접근할 때 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 와 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 이 0에 접근하며, x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에 접근할 때 몫 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 이 유한한 극한에 수렴한다고 가정한다. 그러면 로피탈의 법칙에 의해 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 도 동일한 극한에 수렴함을 알 수 있다. 더 정확히 말하면 다음과 같다.
정리 7.9. 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 에 대한 로피탈의 법칙. 열린 구간 ( a , b a , b a,ba, b )의 각 점 x x xx 에서 f f ff 과 g g gg 이 도함수 f ′ ( x ) f ′ ( x ) f^(')(x)f^{\prime}(x) 과 g ′ ( x ) g ′ ( x ) g^(')(x)g^{\prime}(x) 를 가지며,
lim x → a + f ( x ) = 0 and lim x → a + g ( x ) = 0 lim x → a +   f ( x ) = 0  and  lim x → a +   g ( x ) = 0 lim_(x rarr a+)f(x)=0quad" and "quadlim_(x rarr a+)g(x)=0\lim _{x \rightarrow a+} f(x)=0 \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow a+} g(x)=0
† † †\dagger In 1696, Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704) wrote the first textbook on differential calculus. This work appeared in many editions and played a significant role in the popularization of the subject. Much of the content of the book, including the method known as “L’Hôpital’s rule,” was based on the earlier work of Johann Bernoulli, one of L’Hôpital’s teachers.
† † †\dagger 1696년에 기욤 프랑수아 앙투안 드 로피탈(1661-1704)은 미적분학에 관한 첫 번째 교과서를 저술했다. 이 저작은 여러 판으로 출간되었으며, 이 주제의 대중화에 중요한 역할을 했다. "로피탈의 법칙"으로 알려진 방법을 포함한 이 책의 많은 내용은 로피탈의 스승 중 한 명인 요한 베르누이의 초기 연구를 바탕으로 했다.
또한 ( a , b a , b a,ba, b ) 내의 각 x x xx 에 대해 g ′ ( x ) ≠ 0 g ′ ( x ) ≠ 0 g^(')(x)!=0g^{\prime}(x) \neq 0 이라고 가정합니다. 만약 극한
lim x → a + f ′ ( x ) g ′ ( x ) lim x → a +   f ′ ( x ) g ′ ( x ) lim_(x rarr a+)(f^(')(x))/(g^(')(x))\lim _{x \rightarrow a+} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
이 존재하고 그 값을 L L LL 이라고 한다면, 극한
lim x → a + f ( x ) g ( x ) lim x → a +   f ( x ) g ( x ) lim_(x rarr a+)(f(x))/(g(x))\lim _{x \rightarrow a+} \frac{f(x)}{g(x)}
또한 존재하며 그 값은 L L LL 이 됩니다.
(7.20), (7.21), (7.22)의 극한이 "우측 극한"임에 유의하라. 물론 가설이 ( b , a b , a b,ab, a ) 형태의 열린 구간에서 충족되고 모든 극한이 "좌측 극한"인 유사한 정리도 존재한다. 또한 이 두 "단측" 정리를 결합하면 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 이 제한 없이 접근하는 동일한 유형의 "양측" 결과가 도출된다.
정리 7.9의 증명을 논하기 전에, 여러 예제에서 이 정리의 활용을 설명하겠다.
예제 1. 로피탈의 법칙을 사용하여 잘 알려진 공식을 유도해 보자.
lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 . lim x → 0   sin ⁡ x x = 1 . lim_(x rarr0)(sin x)/(x)=1.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 .
여기서 f ( x ) = sin ⁡ x f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=sin xf(x)=\sin x 과 g ( x ) = x g ( x ) = x g(x)=xg(x)=x 이다. 도함수의 비는 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) = ( cos ⁡ x ) / 1 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) = ( cos ⁡ x ) / 1 f^(')(x)//g^(')(x)=(cos x)//1f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x)=(\cos x) / 1 이며 이는 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 1에 접근한다. 정리 7.9에 의해 (7.23)의 극한도 존재하며 그 값은 1이다.
예제 2. 극한을 구하기 위해
lim x → 0 x − tan ⁡ x x − sin ⁡ x lim x → 0   x − tan ⁡ x x − sin ⁡ x lim_(x rarr0)(x-tan x)/(x-sin x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\tan x}{x-\sin x}
로피탈의 법칙을 적용하면 f ( x ) = x − tan ⁡ x , g ( x ) = x − sin ⁡ x f ( x ) = x − tan ⁡ x , g ( x ) = x − sin ⁡ x f(x)=x-tan x,g(x)=x-sin xf(x)=x-\tan x, g(x)=x-\sin x 으로 놓았을 때
f ′ ( x ) g ′ ( x ) = 1 − sec 2 ⁡ x 1 − cos ⁡ x . f ′ ( x ) g ′ ( x ) = 1 − sec 2 ⁡ x 1 − cos ⁡ x . (f^(')(x))/(g^(')(x))=(1-sec^(2)x)/(1-cos x).\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\frac{1-\sec ^{2} x}{1-\cos x} .
이 역시 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 의 형태를 띠지만, 이 단계에서 대수적인 방법으로 부정형을 제거할 수 있습니다. 만약
1 − sec 2 ⁡ x = 1 − 1 cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x − 1 cos 2 ⁡ x = − ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 − cos ⁡ x ) cos 2 ⁡ x , 1 − sec 2 ⁡ x = 1 − 1 cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x − 1 cos 2 ⁡ x = − ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 − cos ⁡ x ) cos 2 ⁡ x , 1-sec^(2)x=1-(1)/(cos^(2)x)=(cos^(2)x-1)/(cos^(2)x)=-((1+cos x)(1-cos x))/(cos^(2)x),1-\sec ^{2} x=1-\frac{1}{\cos ^{2} x}=\frac{\cos ^{2} x-1}{\cos ^{2} x}=-\frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{\cos ^{2} x},
(7.24)의 분수식은 다음과 같이 변환됩니다
f ′ ( x ) g ′ ( x ) = − 1 + cos ⁡ x cos 2 ⁡ x , f ′ ( x ) g ′ ( x ) = − 1 + cos ⁡ x cos 2 ⁡ x , (f^(')(x))/(g^(')(x))=-(1+cos x)/(cos^(2)x),\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=-\frac{1+\cos x}{\cos ^{2} x},
그리고 이것은 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 -2에 접근합니다. 불확정성이 사라진 것을 주목하세요.
공통 인수 1 − cos ⁡ x 1 − cos ⁡ x 1-cos x1-\cos x 을 약분했습니다. 공통 인수를 약분하면 일반적으로 이런 종류의 문제에서 작업을 단순화하는 경향이 있습니다.
도함수의 몫 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 이 또한 부정형 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 을 가정할 때, 우리는 다시 로피탈의 규칙을 시도할 수 있습니다. 다음 예제에서는 규칙을 두 번 적용한 후에 부정형이 제거됩니다.
예제 3. 임의의 실수 c c cc 에 대해 다음이 성립합니다.
lim x → 1 x c − c x + c − 1 ( x − 1 ) 2 = lim x → 1 c x c − 1 − c 2 ( x − 1 ) = lim x → 1 c ( c − 1 ) x c − 2 2 = c ( c − 1 ) 2 . lim x → 1   x c − c x + c − 1 ( x − 1 ) 2 = lim x → 1   c x c − 1 − c 2 ( x − 1 ) = lim x → 1   c ( c − 1 ) x c − 2 2 = c ( c − 1 ) 2 . lim_(x rarr1)(x^(c)-cx+c-1)/((x-1)^(2))=lim_(x rarr1)(cx^(c-1)-c)/(2(x-1))=lim_(x rarr1)(c(c-1)x^(c-2))/(2)=(c(c-1))/(2).\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{c}-c x+c-1}{(x-1)^{2}}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{c x^{c-1}-c}{2(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{c(c-1) x^{c-2}}{2}=\frac{c(c-1)}{2} .
이 방정식의 연속에서 각 극한의 존재는 앞선 극한의 존재와 그들의 동일성을 함축한다는 것이 이해됩니다.
다음 예제는 로피탈의 법칙이 무조건 통하는 것은 아니라는 점을 보여줍니다.
예제 4. f ( x ) = e − 1 / x f ( x ) = e − 1 / x f(x)=e^(-1//x)f(x)=e^{-1 / x} 일 때 x ≠ 0 x ≠ 0 x!=0x \neq 0 로 정의하고, g ( x ) = x g ( x ) = x g(x)=xg(x)=x 로 정의하자. f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 의 비율은 x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+ 일 때 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 의 부정형을 가집니다. 로피탈의 법칙을 한 번 적용하면 다음 비율이 나옵니다
f ′ ( x ) g ′ ( x ) = ( 1 / x 2 ) e − 1 / x 1 = e − 1 / x x 2 . f ′ ( x ) g ′ ( x ) = 1 / x 2 e − 1 / x 1 = e − 1 / x x 2 . (f^(')(x))/(g^(')(x))=((1//x^(2))e^(-1//x))/(1)=(e^(-1//x))/(x^(2)).\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\frac{\left(1 / x^{2}\right) e^{-1 / x}}{1}=\frac{e^{-1 / x}}{x^{2}} .
이 또한 x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+ 일 때 부정형이며, 분자와 분모를 미분하면 ( 1 / x 2 ) e − 1 / x / ( 2 x ) = e − 1 / x / ( 2 x 3 ) 1 / x 2 e − 1 / x / ( 2 x ) = e − 1 / x / 2 x 3 (1//x^(2))e^(-1//x)//(2x)=e^(-1//x)//(2x^(3))\left(1 / x^{2}\right) e^{-1 / x} /(2 x)=e^{-1 / x} /\left(2 x^{3}\right) 이 됩니다. n n nn 단계를 거치면 최종적으로 e − 1 / x / ( n ! x n + 1 ) e − 1 / x / n ! x n + 1 e^(-1//x)//(n!x^(n+1))e^{-1 / x} /\left(n!x^{n+1}\right) 의 비율이 나오므로, 이 방법으로는 부정형이 결코 사라지지 않습니다.
예제 5. 로피탈의 법칙을 반복적으로 사용할 때는 고려 중인 비율이 실제로 부정형을 가정하는지 확인하는 데 주의가 필요합니다. 다음 계산에서 볼 수 있듯이 흔히 발생하는 오류 유형이 있습니다:
lim x → 1 3 x 2 − 2 x − 1 x 2 − x = lim x → 1 6 x − 2 2 x − 1 = lim x → 1 6 2 = 3 . lim x → 1   3 x 2 − 2 x − 1 x 2 − x = lim x → 1   6 x − 2 2 x − 1 = lim x → 1   6 2 = 3 . lim_(x rarr1)(3x^(2)-2x-1)/(x^(2)-x)=lim_(x rarr1)(6x-2)/(2x-1)=lim_(x rarr1)(6)/(2)=3.\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{2}-2 x-1}{x^{2}-x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{6 x-2}{2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{6}{2}=3 .
첫 번째 단계는 맞지만 두 번째는 틀렸다. 몫 ( 6 x − 2 ) / ( 2 x − 1 ) ( 6 x − 2 ) / ( 2 x − 1 ) (6x-2)//(2x-1)(6 x-2) /(2 x-1) 은 x → 1 x → 1 x rarr1x \rightarrow 1 과 같이 부정형이 아니다. 올바른 극한값 4는 ( 6 x − 2 ) / ( 2 x − 1 ) ( 6 x − 2 ) / ( 2 x − 1 ) (6x-2)//(2x-1)(6 x-2) /(2 x-1) 에서 x x xx 에 1을 대입함으로써 얻어진다.
예제 6. 때로는 변수 치환을 통해 계산을 단축할 수 있다. 예를 들어, 우리는 이 극한을 계산하기 위해 로피탈의 법칙을 직접 적용할 수도 있지만,
lim x → 0 + x 1 − e 2 x lim x → 0 +   x 1 − e 2 x lim_(x rarr0+)(sqrtx)/(1-e^(2sqrtx))\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\sqrt{x}}{1-e^{2 \sqrt{x}}}
제곱근의 미분을 피하기 위해 t = x t = x t=sqrtxt=\sqrt{x} 라고 쓰고 다음을 유의하면 된다.
lim x → 0 + x 1 − e 2 x = lim t → 0 + t 1 − e 2 t = lim t → 0 + 1 − 2 e 2 t = − 1 2 . lim x → 0 +   x 1 − e 2 x = lim t → 0 +   t 1 − e 2 t = lim t → 0 +   1 − 2 e 2 t = − 1 2 . lim_(x rarr0+)(sqrtx)/(1-e^(2sqrtx))=lim_(t rarr0+)(t)/(1-e^(2t))=lim_(t rarr0+)(1)/(-2e^(2t))=-(1)/(2).\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\sqrt{x}}{1-e^{2 \sqrt{x}}}=\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{t}{1-e^{2 t}}=\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{1}{-2 e^{2 t}}=-\frac{1}{2} .
We turn now to the proof of Theorem 7.9.
이제 정리 7.9의 증명으로 넘어가겠습니다.
증명. 우리는 왼쪽 끝점으로 a a aa 을 갖는 닫힌 구간에 적용된 코시의 평균값 정리(4.14절의 정리 4.6)를 이용한다. 함수 f f ff 과 g g gg 는 a a aa 에서 정의되지 않을 수 있으므로, 해당 지점에서 정의된 두 개의 새로운 함수를 도입한다. 다음과 같이 정의하자.
F ( x ) = f ( x ) if x ≠ a , F ( a ) = 0 , G ( x ) = g ( x ) if x ≠ a , G ( a ) = 0 . F ( x ) = f ( x )  if  x ≠ a , F ( a ) = 0 , G ( x ) = g ( x )  if  x ≠ a , G ( a ) = 0 . {:[F(x)=f(x)," if "quad x!=a",",F(a)=0","],[G(x)=g(x)," if "quad x!=a",",G(a)=0.]:}\begin{array}{lll} F(x)=f(x) & \text { if } \quad x \neq a, & F(a)=0, \\ G(x)=g(x) & \text { if } \quad x \neq a, & G(a)=0 . \end{array}
F F FF 과 G G GG 은 모두 a a aa 에서 연속이다. 사실, a < x < b a < x < b a < x < ba<x<b 이라면 두 함수 F F FF 와 G G GG 는 닫힌 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에서 연속이며 열린 구간 ( a , x a , x a,xa, x ) 내 모든 점에서 미분 가능하다. 따라서 코시의 공식은 구간 [ a , x ] [ a , x ] [a,x][a, x] 에 적용 가능하며, 우리는 다음을 얻는다.
[ F ( x ) − F ( a ) ] G ′ ( c ) = [ G ( x ) − G ( a ) ] F ′ ( c ) , [ F ( x ) − F ( a ) ] G ′ ( c ) = [ G ( x ) − G ( a ) ] F ′ ( c ) , [F(x)-F(a)]G^(')(c)=[G(x)-G(a)]F^(')(c),[F(x)-F(a)] G^{\prime}(c)=[G(x)-G(a)] F^{\prime}(c),
여기서 c c cc 은 a < c < x a < c < x a < c < xa<c<x 을 만족하는 어떤 점이다. F ( a ) = G ( a ) = 0 F ( a ) = G ( a ) = 0 F(a)=G(a)=0F(a)=G(a)=0 이므로, 이는 다음과 같이 된다.
f ( x ) g ′ ( c ) = g ( x ) f ′ ( c ) f ( x ) g ′ ( c ) = g ( x ) f ′ ( c ) f(x)g^(')(c)=g(x)f^(')(c)f(x) g^{\prime}(c)=g(x) f^{\prime}(c)
이제 g ′ ( c ) ≠ 0 g ′ ( c ) ≠ 0 g^(')(c)!=0g^{\prime}(c) \neq 0 [가정에 의해 g ′ g ′ g^(')g^{\prime} 은 ( a , b ) ] ( a , b ) {:(a,b)]\left.(a, b)\right] 에서 결코 0이 되지 않으며, 또한 g ( x ) ≠ 0 g ( x ) ≠ 0 g(x)!=0g(x) \neq 0 이기 때문이다. 사실, 만약 g ( x ) = 0 g ( x ) = 0 g(x)=0g(x)=0 이라면 G ( x ) = G ( a ) = 0 G ( x ) = G ( a ) = 0 G(x)=G(a)=0G(x)=G(a)=0 이 되고, 롤의 정리에 의해 a a aa 과 x x xx 사이에 G ′ ( x 1 ) = 0 G ′ x 1 = 0 G^(')(x_(1))=0G^{\prime}\left(x_{1}\right)=0 인 점 x 1 x 1 x_(1)x_{1} 이 존재하게 되어, g ′ g ′ g^(')g^{\prime} 이 ( a , b a , b a,ba, b )에서 결코 0이 되지 않는다는 가정에 모순된다. 따라서 우리는 g ′ ( c ) g ′ ( c ) g^(')(c)g^{\prime}(c) 과 g ( x ) g ( x ) g(x)g(x) 으로 나눌 수 있으며, 다음을 얻는다.
f ( x ) g ( x ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) f ( x ) g ( x ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) (f(x))/(g(x))=(f^(')(c))/(g^(')(c))\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}
x → a x → a x rarr ax \rightarrow a 에서, 점 c → a c → a c rarr ac \rightarrow a (왜냐하면 a < c < x a < c < x a < c < xa<c<x 이기 때문) 그리고 오른쪽의 몫은 L L LL 에 접근한다[(7.21)에 의해]. 따라서, f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 또한 L L LL 에 접근하며 이로써 정리가 증명된다.

7.13 Exercises7.13 연습문제

1번부터 12번까지의 연습문제에서 극한값을 구하시오.
  1. lim x → 2 3 x 2 + 2 x − 16 x 2 − x − 2 lim x → 2   3 x 2 + 2 x − 16 x 2 − x − 2 lim_(x rarr2)(3x^(2)+2x-16)/(x^(2)-x-2)\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}+2 x-16}{x^{2}-x-2}.
  2. lim x → 3 x 2 − 4 x + 3 2 x 2 − 13 x + 21 lim x → 3   x 2 − 4 x + 3 2 x 2 − 13 x + 21 lim_(x rarr3)(x^(2)-4x+3)/(2x^(2)-13 x+21)\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-4 x+3}{2 x^{2}-13 x+21}.
  3. lim x → 0 sinh ⁡ x − sin ⁡ x x 3 lim x → 0   sinh ⁡ x − sin ⁡ x x 3 lim_(x rarr0)(sinh x-sin x)/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sinh x-\sin x}{x^{3}}.
  4. lim x → 0 ( 2 − x ) e x − x − 2 x 3 lim x → 0   ( 2 − x ) e x − x − 2 x 3 lim_(x rarr0)((2-x)e^(x)-x-2)/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2-x) e^{x}-x-2}{x^{3}}.
  5. lim x → 0 log ⁡ ( cos ⁡ a x ) log ⁡ ( cos ⁡ b x ) lim x → 0   log ⁡ ( cos ⁡ a x ) log ⁡ ( cos ⁡ b x ) lim_(x rarr0)(log(cos ax))/(log(cos bx))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (\cos a x)}{\log (\cos b x)}.
  6. lim x → 0 + x − sin ⁡ x ( x sin ⁡ x ) 3 / 2 lim x → 0 +   x − sin ⁡ x ( x sin ⁡ x ) 3 / 2 lim_(x rarr0+)(x-sin x)/((x sin x)^(3//2))\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{x-\sin x}{(x \sin x)^{3 / 2}}.
  7. lim x → a + x − a + x − a x 2 − a 2 lim x → a +   x − a + x − a x 2 − a 2 lim_(x rarr a+)(sqrtx-sqrta+sqrt(x-a))/(sqrt(x^(2)-a^(2)))\lim _{x \rightarrow a+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}.
  8. lim x → 1 + x x − x 1 − x + log ⁡ x lim x → 1 +   x x − x 1 − x + log ⁡ x lim_(x rarr1+)(x^(x)-x)/(1-x+log x)\lim _{x \rightarrow 1+} \frac{x^{x}-x}{1-x+\log x}.
  9. lim x → 0 arcsin ⁡ 2 x − 2 arcsin ⁡ x x 3 lim x → 0   arcsin ⁡ 2 x − 2 arcsin ⁡ x x 3 lim_(x rarr0)(arcsin 2x-2arcsin x)/(x^(3))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 2 x-2 \arcsin x}{x^{3}}.
  10. lim x → 0 x cot ⁡ x − 1 x 2 lim x → 0   x cot ⁡ x − 1 x 2 lim_(x rarr0)(x cot x-1)/(x^(2))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cot x-1}{x^{2}}.
  11. lim x → 1 ∑ k = 1 n x k − n x − 1 lim x → 1   ∑ k = 1 n   x k − n x − 1 lim_(x rarr1)(sum_(k=1)^(n)x^(k)-n)/(x-1)\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sum_{k=1}^{n} x^{k}-n}{x-1}.
  12. lim x → 0 + 1 x x ( a arctan ⁡ x a − b arctan ⁡ x b ) lim x → 0 +   1 x x a arctan ⁡ x a − b arctan ⁡ x b lim_(x rarr0+)(1)/(xsqrtx)(a arctan((sqrtx)/(a))-b arctan((sqrtx)/(b)))\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{1}{x \sqrt{x}}\left(a \arctan \frac{\sqrt{x}}{a}-b \arctan \frac{\sqrt{x}}{b}\right).
  13. 몫의 극한을 결정하시오
( sin ⁡ 4 x ) ( sin ⁡ 3 x ) x sin ⁡ 2 x ( sin ⁡ 4 x ) ( sin ⁡ 3 x ) x sin ⁡ 2 x ((sin 4x)(sin 3x))/(x sin 2x)\frac{(\sin 4 x)(\sin 3 x)}{x \sin 2 x}
x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 로 그리고 x → 1 2 π x → 1 2 π x rarr(1)/(2)pix \rightarrow \frac{1}{2} \pi 로도.
상수 a a aa 와 b b bb 의 어떤 값에 대해
lim x → 0 ( x − 3 sin ⁡ 3 x + a x − 2 + b ) = 0 ? lim x → 0   x − 3 sin ⁡ 3 x + a x − 2 + b = 0 ? lim_(x rarr0)(x^(-3)sin 3x+ax^(-2)+b)=0?\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{-3} \sin 3 x+a x^{-2}+b\right)=0 ?
  1. lim x → 0 1 b x − sin ⁡ x ∫ 0 x t 2 d t a + t = 1 lim x → 0   1 b x − sin ⁡ x ∫ 0 x   t 2 d t a + t = 1 lim_(x rarr0)(1)/(bx-sin x)int_(0)^(x)(t^(2)dt)/(sqrt(a+t))=1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2} d t}{\sqrt{a+t}}=1 이 되도록 상수 a a aa 와 b b bb 을 찾으시오.
  2. A circular arc of radius 1 subtends an angle of x x xx radians, 0 < x < 1 2 π 0 < x < 1 2 π 0 < x < (1)/(2)pi0<x<\frac{1}{2} \pi, as shown in Figure 7.2. The point C C CC is the intersection of the two tangent lines at A A AA and B B BB. Let T ( x ) T ( x ) T(x)T(x) be the area of
    반지름이 1인 원호는 그림 7.2에서 보이는 것처럼 x x xx 라디안의 각도를 대응하며, 0 < x < 1 2 π 0 < x < 1 2 π 0 < x < (1)/(2)pi0<x<\frac{1}{2} \pi 입니다. 점 C C CC 는 A A AA 과 B B BB 에서의 두 접선의 교점입니다. T ( x ) T ( x ) T(x)T(x) 를 다음의 넓이라고 하겠습니다.
Figure 7.2 Exercise 16.그림 7.2 연습 문제 16.
triangle A B C A B C ABCA B C and let S ( x ) S ( x ) S(x)S(x) be the area of the shaded region. Compute the following: (a) T ( x ) T ( x ) T(x)T(x); (b) S ( x ) S ( x ) S(x)S(x); © the limit of T ( x ) / S ( x ) T ( x ) / S ( x ) T(x)//S(x)T(x) / S(x) as x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+.
삼각형 A B C A B C ABCA B C 을 그리고, 음영 처리된 영역의 넓이를 S ( x ) S ( x ) S(x)S(x) 이라고 하자. 다음을 계산하시오: (a) T ( x ) T ( x ) T(x)T(x) ; (b) S ( x ) S ( x ) S(x)S(x) ; (c) x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+ 일 때 T ( x ) / S ( x ) T ( x ) / S ( x ) T(x)//S(x)T(x) / S(x) 의 극한값.
17. The current I ( t ) I ( t ) I(t)I(t) flowing in a certain electrical circuit at time t t tt is given by
17. 시간 t t tt 에서 특정 전기 회로에 흐르는 전류 I ( t ) I ( t ) I(t)I(t) 는 다음과 같이 주어진다.
I ( t ) = E R ( 1 − e − R t / L ) , I ( t ) = E R 1 − e − R t / L , I(t)=(E)/(R)(1-e^(-Rt//L)),I(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-R t / L}\right),
where E , R E , R E,RE, R, and L L LL are positive numbers. Determine the limiting value of I ( t ) I ( t ) I(t)I(t) as R → 0 + R → 0 + R rarr0+R \rightarrow 0+.
여기서 E , R E , R E,RE, R 과 L L LL 은 양수이다. R → 0 + R → 0 + R rarr0+R \rightarrow 0+ 일 때 I ( t ) I ( t ) I(t)I(t) 의 극한값을 구하시오.
18. A weight hangs by a spring and is caused to vibrate by a sinusoidal force. Its displacement f ( t ) f ( t ) f(t)f(t) at time t t tt is given by an equation of the form
18. 추에 달린 스프링이 정현파 힘에 의해 진동한다. 시간 t t tt 에서의 변위 f ( t ) f ( t ) f(t)f(t) 는 다음과 같은 형태의 방정식으로 주어진다.
f ( t ) = A c 2 − k 2 ( sin ⁡ k t − sin ⁡ c t ) , f ( t ) = A c 2 − k 2 ( sin ⁡ k t − sin ⁡ c t ) , f(t)=(A)/(c^(2)-k^(2))(sin kt-sin ct),f(t)=\frac{A}{c^{2}-k^{2}}(\sin k t-\sin c t),
where A , c A , c A,cA, c, and k k kk are positive constants, with c ≠ k c ≠ k c!=kc \neq k. Determine the limiting value of the displacement as c → k c → k c rarr kc \rightarrow k.
여기서 A , c A , c A,cA, c 와 k k kk 는 양의 상수이며, c ≠ k c ≠ k c!=kc \neq k 이다. c → k c → k c rarr kc \rightarrow k 일 때 변위의 극한값을 구하라.

7.14 The symbols + ∞ + ∞ +oo+\infty and − ∞ − ∞ -oo-\infty. Extension of L'Hôpital's rule
7.14 기호 + ∞ + ∞ +oo+\infty 와 − ∞ − ∞ -oo-\infty . 로피탈 법칙의 확장

L’Hôpital’s rule may be extended in several ways. First of all, we may wish to consider the quotient f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) as x x xx increases without bound. It is convenient to have a short
로피탈 법칙은 여러 가지 방식으로 확장될 수 있다. 먼저, x x xx 이 무한히 증가할 때 몫 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 를 고려하고자 할 수 있다. 간결한 표현이
descriptive symbolism to express the fact that we are allowing x x xx to increase indefinitely. For this purpose, mathematicians use the special symbol + ∞ + ∞ +oo+\infty, called “plus infinity.” Although we shall not attach any meaning to the symbol + ∞ + ∞ +oo+\infty by itself, we shall give precise definitions of various statements involving this symbol.
우리는 x x xx 이 무한히 증가하도록 허용한다는 사실을 표현하기 위해 설명적인 상징을 사용합니다. 이를 위해 수학자들은 "양의 무한대"라고 불리는 특수 기호 + ∞ + ∞ +oo+\infty 을 사용합니다. 비록 우리가 이 기호 + ∞ + ∞ +oo+\infty 자체에 어떤 의미도 부여하지 않을 것이지만, 이 기호를 포함하는 다양한 문장들에 대해 정확한 정의를 내릴 것입니다.
One of these statements is written as follows:
이러한 문장 중 하나는 다음과 같이 작성됩니다:
lim x → + ∞ f ( x ) = A lim x → + ∞   f ( x ) = A lim_(x rarr+oo)f(x)=A\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A
and is read “The limit of f ( x ) f ( x ) f(x)f(x), as x x xx tends to plus infinity, is A A AA.” The idea we are trying to express here is that the function values f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) can be made arbitrarily close to the real number A A AA by taking x x xx large enough. To make this statement mathematically precise, we must explain what is meant by “arbitrarily close” and by “large enough.” This is done by means of the following definition:
그리고 " x x xx 이 양의 무한대에 가까워질 때 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 의 극한은 A A AA 이다"라고 읽습니다. 여기서 우리가 표현하려는 아이디어는 함수 값 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 이 실수 A A AA 에 임의로 가깝게 만들 수 있다는 것으로, x x xx 을 충분히 크게 함으로써 가능합니다. 이 문장을 수학적으로 정확하게 만들기 위해서는 "임의로 가깝게"와 "충분히 크게"가 무엇을 의미하는지 설명해야 합니다. 이는 다음 정의를 통해 이루어집니다:
definition. The symbolism
정의. 이 상징은
lim x → + ∞ f ( x ) = A lim x → + ∞   f ( x ) = A lim_(x rarr+oo)f(x)=A\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A
means that for every number ϵ > 0 ϵ > 0 epsilon > 0\epsilon>0, there is another number M > 0 M > 0 M > 0M>0 (which may depend on ϵ ϵ epsilon\epsilon ) such that
모든 수 ϵ > 0 ϵ > 0 epsilon > 0\epsilon>0 에 대해, ϵ ϵ epsilon\epsilon 에 따라 달라질 수 있는 다른 수 M > 0 M > 0 M > 0M>0 이 존재하여
| f ( x ) − A | < ϵ whenever x > M . | f ( x ) − A | < ϵ  whenever  x > M . |f(x)-A| < epsilonquad" whenever "quad x > M.|f(x)-A|<\epsilon \quad \text { whenever } \quad x>M .
Calculations involving limits as x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty may be reduced to a more familiar case. We simply replace x x xx by 1 / t 1 / t 1//t1 / t (that is, let t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x ) and note that t → 0 t → 0 t rarr0t \rightarrow 0 through positive values as x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty. More precisely, we introduce a new function F F FF, where
x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 에 대한 극한을 포함하는 계산은 더 익숙한 경우로 축소될 수 있습니다. 간단히 x x xx 을 1 / t 1 / t 1//t1 / t 으로 대체하고(즉, t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x 로 두고) x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 로 향할 때 t → 0 t → 0 t rarr0t \rightarrow 0 이 양의 값을 통해 접근함을 주목하면 됩니다. 더 정확하게는, 새로운 함수 F F FF 을 도입하는데, 여기서
F ( t ) = f ( 1 t ) if t ≠ 0 F ( t ) = f 1 t  if  t ≠ 0 F(t)=f((1)/(t))quad" if "quad t!=0F(t)=f\left(\frac{1}{t}\right) \quad \text { if } \quad t \neq 0
and simply observe that the two statements
그리고 단순히 다음 두 진술이
lim x → + ∞ f ( x ) = A and lim t → 0 + F ( t ) = A lim x → + ∞   f ( x ) = A  and  lim t → 0 +   F ( t ) = A lim_(x rarr+oo)f(x)=A quad" and "quadlim_(t rarr0+)F(t)=A\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \quad \text { and } \quad \lim _{t \rightarrow 0+} F(t)=A
mean exactly the same thing. The proof of this equivalence requires only the definitions of the two limit symbols and is left as an exercise.
정확히 동일한 의미를 가짐을 관찰합니다. 이 동등성의 증명은 두 극한 기호의 정의만을 필요로 하며, 연습 문제로 남겨둡니다.
When we are interested in the behavior of f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) for large negative x x xx, we introduce the symbol − ∞ − ∞ -oo-\infty (“minus infinity”) and write
f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 의 값이 큰 음수 x x xx 에 대해 어떻게 변하는지 관심이 있을 때, 우리는 기호 − ∞ − ∞ -oo-\infty ("마이너스 무한대")를 도입하고 다음과 같이 쓴다
lim x → − ∞ f ( x ) = A lim x → − ∞   f ( x ) = A lim_(x rarr-oo)f(x)=A\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A
to mean: For every ϵ > 0 ϵ > 0 epsilon > 0\epsilon>0, there is an M > 0 M > 0 M > 0M>0 such that
의미: 모든 ϵ > 0 ϵ > 0 epsilon > 0\epsilon>0 에 대해, M > 0 M > 0 M > 0M>0 이 존재하여
| f ( x ) − A | < ϵ whenever x < − M . | f ( x ) − A | < ϵ  whenever  x < − M . |f(x)-A| < epsilonquad" whenever "quad x < -M.|f(x)-A|<\epsilon \quad \text { whenever } \quad x<-M .
If F F FF is defined by (7.25), it is easy to verify that the two statements
F F FF 이 (7.25)에 의해 정의된다면, 두 가지 진술을 쉽게 확인할 수 있습니다.
lim x → − ∞ f ( x ) = A and lim t → 0 − F ( t ) = A lim x → − ∞   f ( x ) = A  and  lim t → 0 −   F ( t ) = A lim_(x rarr-oo)f(x)=A quad" and "quadlim_(t rarr0-)F(t)=A\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A \quad \text { and } \quad \lim _{t \rightarrow 0-} F(t)=A
are equivalent.동등하다.
In view of the above remarks, it is not surprising to find that all the usual rules for calculating with limits (as stated in Theorem 3.1 of Section 3.4) also apply to limits as x → ± ∞ x → ± ∞ x rarr+-oox \rightarrow \pm \infty. The same is true of L’Hôpital’s rule which may be extended as follows:
위의 논의를 고려할 때, 극한 계산에 관한 모든 일반적인 규칙들(3.4절의 정리 3.1에 명시된 바와 같이)이 x → ± ∞ x → ± ∞ x rarr+-oox \rightarrow \pm \infty 에 대한 극한에도 적용된다는 사실은 놀랍지 않습니다. 이는 로피탈의 법칙에도 동일하게 적용되며, 다음과 같이 확장될 수 있습니다:
THEOREM 7.10. Assume that f f ff and g g gg have derivatives f ′ ( x ) f ′ ( x ) f^(')(x)f^{\prime}(x) and g ′ ( x ) g ′ ( x ) g^(')(x)g^{\prime}(x) for all x x xx greater than a certain fixed M > 0 M > 0 M > 0M>0. Suppose that
정리 7.10. f f ff 와 g g gg 가 특정 고정값 M > 0 M > 0 M > 0M>0 보다 큰 모든 x x xx 에 대해 도함수 f ′ ( x ) f ′ ( x ) f^(')(x)f^{\prime}(x) 와 g ′ ( x ) g ′ ( x ) g^(')(x)g^{\prime}(x) 를 가진다고 가정합니다. 또한
lim x → + ∞ f ( x ) = 0 and lim x → + ∞ g ( x ) = 0 lim x → + ∞   f ( x ) = 0  and  lim x → + ∞   g ( x ) = 0 lim_(x rarr+oo)f(x)=0quad" and "quadlim_(x rarr+oo)g(x)=0\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0
and that g ′ ( x ) ≠ 0 g ′ ( x ) ≠ 0 g^(')(x)!=0g^{\prime}(x) \neq 0 for x > M x > M x > Mx>M. If f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) tends to a limit as x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty, then f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) also tends to a limit and the two limits are equal. In other words,
g ′ ( x ) ≠ 0 g ′ ( x ) ≠ 0 g^(')(x)!=0g^{\prime}(x) \neq 0 가 x > M x > M x > Mx>M 일 때 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 가 x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 로 갈 때 극한을 갖는다면, f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 또한 극한을 가지며 두 극한은 동일합니다. 즉,
lim x → + ∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L implies lim x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = L lim x → + ∞   f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L  implies  lim x → + ∞   f ( x ) g ( x ) = L lim_(x rarr+oo)(f^(')(x))/(g^(')(x))=L quad" implies "quadlim_(x rarr+oo)(f(x))/(g(x))=L\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L \quad \text { implies } \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=L
Proof. Let F ( t ) = f ( 1 / t ) F ( t ) = f ( 1 / t ) F(t)=f(1//t)F(t)=f(1 / t) and G ( t ) = g ( 1 / t ) G ( t ) = g ( 1 / t ) G(t)=g(1//t)G(t)=g(1 / t). Then f ( x ) / g ( x ) = F ( t ) / G ( t ) f ( x ) / g ( x ) = F ( t ) / G ( t ) f(x)//g(x)=F(t)//G(t)f(x) / g(x)=F(t) / G(t) if t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x, and t → 0 + t → 0 + t rarr0+t \rightarrow 0+ as x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty. Since F ( t ) / G ( t ) F ( t ) / G ( t ) F(t)//G(t)F(t) / G(t) assumes the indeterminate form 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 as t → 0 + t → 0 + t rarr0+t \rightarrow 0+, we examine the quotient of derivatives F ′ ( t ) / G ′ ( t ) F ′ ( t ) / G ′ ( t ) F^(')(t)//G^(')(t)F^{\prime}(t) / G^{\prime}(t). By the chain rule, we have
증명. F ( t ) = f ( 1 / t ) F ( t ) = f ( 1 / t ) F(t)=f(1//t)F(t)=f(1 / t) 와 G ( t ) = g ( 1 / t ) G ( t ) = g ( 1 / t ) G(t)=g(1//t)G(t)=g(1 / t) 라고 합시다. 그러면 t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x 일 때 f ( x ) / g ( x ) = F ( t ) / G ( t ) f ( x ) / g ( x ) = F ( t ) / G ( t ) f(x)//g(x)=F(t)//G(t)f(x) / g(x)=F(t) / G(t) 이며, x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 로 갈 때 t → 0 + t → 0 + t rarr0+t \rightarrow 0+ 입니다. t → 0 + t → 0 + t rarr0+t \rightarrow 0+ 로 갈 때 F ( t ) / G ( t ) F ( t ) / G ( t ) F(t)//G(t)F(t) / G(t) 가 부정형 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 을 취하므로, 도함수의 비율 F ′ ( t ) / G ′ ( t ) F ′ ( t ) / G ′ ( t ) F^(')(t)//G^(')(t)F^{\prime}(t) / G^{\prime}(t) 를 검토합니다. 연쇄 법칙에 의해, 우리는 다음을 얻습니다.
F ′ ( t ) = − 1 t 2 f ′ ( 1 t ) and G ′ ( t ) = − 1 t 2 g ′ ( 1 t ) . F ′ ( t ) = − 1 t 2 f ′ 1 t  and  G ′ ( t ) = − 1 t 2 g ′ 1 t . F^(')(t)=(-1)/(t^(2))f^(')((1)/(t))quad" and "quadG^(')(t)=(-1)/(t^(2))g^(')((1)/(t)).F^{\prime}(t)=\frac{-1}{t^{2}} f^{\prime}\left(\frac{1}{t}\right) \quad \text { and } \quad G^{\prime}(t)=\frac{-1}{t^{2}} g^{\prime}\left(\frac{1}{t}\right) .
Also, G ′ ( t ) ≠ 0 G ′ ( t ) ≠ 0 G^(')(t)!=0G^{\prime}(t) \neq 0 if 0 < t < 1 / M 0 < t < 1 / M 0 < t < 1//M0<t<1 / M. When x = 1 / t x = 1 / t x=1//tx=1 / t and x > M x > M x > Mx>M, we have F ′ ( t ) / G ′ ( t ) = f ′ ( x ) / g ′ ( x ) F ′ ( t ) / G ′ ( t ) = f ′ ( x ) / g ′ ( x ) F^(')(t)//G^(')(t)=f^(')(x)//g^(')(x)F^{\prime}(t) / G^{\prime}(t)=f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) since the common factor − 1 / t 2 − 1 / t 2 -1//t^(2)-1 / t^{2} cancels. Therefore, if f ′ ( x ) / g ′ ( x ) → L f ′ ( x ) / g ′ ( x ) → L f^(')(x)//g^(')(x)rarr Lf^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) \rightarrow L as x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty, then F ′ ( t ) / G ′ ( t ) → L F ′ ( t ) / G ′ ( t ) → L F^(')(t)//G^(')(t)rarr LF^{\prime}(t) / G^{\prime}(t) \rightarrow L as t → 0 + t → 0 + t rarr0+t \rightarrow 0+ and hence, by Theorem 7.9, F ( t ) / G ( t ) → L F ( t ) / G ( t ) → L F(t)//G(t)rarr LF(t) / G(t) \rightarrow L. Since F ( t ) / G ( t ) = F ( t ) / G ( t ) = F(t)//G(t)=F(t) / G(t)= f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) this proves (7.26).
또한, G ′ ( t ) ≠ 0 G ′ ( t ) ≠ 0 G^(')(t)!=0G^{\prime}(t) \neq 0 일 때 0 < t < 1 / M 0 < t < 1 / M 0 < t < 1//M0<t<1 / M 이다. x = 1 / t x = 1 / t x=1//tx=1 / t 와 x > M x > M x > Mx>M 일 때, 공통 인수 − 1 / t 2 − 1 / t 2 -1//t^(2)-1 / t^{2} 가 상쇄되므로 F ′ ( t ) / G ′ ( t ) = f ′ ( x ) / g ′ ( x ) F ′ ( t ) / G ′ ( t ) = f ′ ( x ) / g ′ ( x ) F^(')(t)//G^(')(t)=f^(')(x)//g^(')(x)F^{\prime}(t) / G^{\prime}(t)=f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 이 된다. 따라서 x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 일 때 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) → L f ′ ( x ) / g ′ ( x ) → L f^(')(x)//g^(')(x)rarr Lf^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) \rightarrow L 이면, t → 0 + t → 0 + t rarr0+t \rightarrow 0+ 일 때 F ′ ( t ) / G ′ ( t ) → L F ′ ( t ) / G ′ ( t ) → L F^(')(t)//G^(')(t)rarr LF^{\prime}(t) / G^{\prime}(t) \rightarrow L 이 되며, 따라서 정리 7.9에 의해 F ( t ) / G ( t ) → L F ( t ) / G ( t ) → L F(t)//G(t)rarr LF(t) / G(t) \rightarrow L 이 된다. F ( t ) / G ( t ) = F ( t ) / G ( t ) = F(t)//G(t)=F(t) / G(t)= f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 이므로, 이는 (7.26)을 증명한다.
There is, of course, a result analogous to Theorem 7.10 in which we consider limits as x → − ∞ x → − ∞ x rarr-oox \rightarrow-\infty.
물론, x → − ∞ x → − ∞ x rarr-oox \rightarrow-\infty 일 때의 극한을 고려하는 정리 7.10과 유사한 결과도 존재한다.

7.15 Infinite limits7.15 무한 극한

In the foregoing section we used the notation x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty to convey the idea that x x xx takes on arbitrarily large positive values. We also write
앞 절에서 우리는 x x xx 이 임의로 큰 양의 값을 취한다는 개념을 전달하기 위해 x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 이라는 표기법을 사용했다. 또한 우리는
lim x → a f ( x ) = + ∞ lim x → a   f ( x ) = + ∞ lim_(x rarr a)f(x)=+oo\lim _{x \rightarrow a} f(x)=+\infty
or, alternatively,또는 대안적으로,
f ( x ) → + ∞ as x → a f ( x ) → + ∞  as  x → a f(x)rarr+ooquad" as "quad x rarr af(x) \rightarrow+\infty \quad \text { as } \quad x \rightarrow a
to indicate that f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) takes arbitrarily large values as x x xx approaches a a aa. The precise meaning of these symbols is given in the following definition.
f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 가 x x xx 가 a a aa 에 접근함에 따라 임의로 큰 값을 취한다는 것을 나타낸다. 이러한 기호들의 정확한 의미는 다음 정의에서 설명된다.
DEFINITION. The symbolism in (7.27) or in (7.28) means that to every positive number M M MM (no matter how large), there corresponds another positive number δ δ delta\delta (which may depend on M) such that
정의. (7.27) 또는 (7.28)의 기호 표현은 모든 양수 M M MM (아무리 크더라도)에 대해, 다음을 만족하는 또 다른 양수 δ δ delta\delta (M에 따라 달라질 수 있음)이 존재함을 의미한다:
f ( x ) > M whenever 0 < | x − a | < δ . f ( x ) > M  whenever  0 < | x − a | < δ . f(x) > M quad" whenever "quad0 < |x-a| < delta.f(x)>M \quad \text { whenever } \quad 0<|x-a|<\delta .
If f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M whenever 0 < x − a < δ 0 < x − a < δ 0 < x-a < delta0<x-a<\delta, we write
만약 f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M 일 때마다 0 < x − a < δ 0 < x − a < δ 0 < x-a < delta0<x-a<\delta 이라면, 우리는 다음과 같이 쓴다.
lim x → a + f ( x ) = + ∞ lim x → a +   f ( x ) = + ∞ lim_(x rarr a+)f(x)=+oo\lim _{x \rightarrow a+} f(x)=+\infty
and we say that f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) tends to plus infinity as x x xx approaches a from the right. If f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M whenever 0 < a − x < δ 0 < a − x < δ 0 < a-x < delta0<a-x<\delta, we write
그리고 우리는 x x xx 이 a에 오른쪽에서 접근할 때 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 이 양의 무한대로 향한다고 말합니다. 만약 0 < a − x < δ 0 < a − x < δ 0 < a-x < delta0<a-x<\delta 일 때마다 f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M 이라면, 우리는 다음과 같이 씁니다.
lim x → a − f ( x ) = + ∞ lim x → a −   f ( x ) = + ∞ lim_(x rarr a-)f(x)=+oo\lim _{x \rightarrow a-} f(x)=+\infty
and we say that f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) tends to plus infinity as x x xx approaches a from the left.
그리고 우리는 x x xx 이 a에 왼쪽에서 접근할 때 f ( x ) f ( x ) f(x)f(x) 이 양의 무한대로 향한다고 말합니다.
The symbols기호들
lim x → a f ( x ) = − ∞ , lim x → a + f ( x ) = − ∞ , and lim x → a − f ( x ) = − ∞ lim x → a   f ( x ) = − ∞ , lim x → a +   f ( x ) = − ∞ ,  and  lim x → a −   f ( x ) = − ∞ lim_(x rarr a)f(x)=-oo,quadlim_(x rarr a+)f(x)=-oo,quad" and "quadlim_(x rarr a-)f(x)=-oo\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow a+} f(x)=-\infty, \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow a-} f(x)=-\infty
are similarly defined, the only difference being that we replace f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M by f ( x ) < − M f ( x ) < − M f(x) < -Mf(x)<-M. Examples are shown in Figure 7.3.
비슷하게 정의되며, 유일한 차이점은 f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M 을 f ( x ) < − M f ( x ) < − M f(x) < -Mf(x)<-M 로 대체한다는 것입니다. 예시는 그림 7.3에 나와 있습니다.
Figure 7.3 Infinite limits.
그림 7.3 무한 극한.
It is also convenient to extend the definitions of these symbols further to cover the cases when x → ± ∞ x → ± ∞ x rarr+-oox \rightarrow \pm \infty. Thus, for example, we write
또한 이러한 기호들의 정의를 x → ± ∞ x → ± ∞ x rarr+-oox \rightarrow \pm \infty 인 경우까지 확장하는 것이 편리합니다. 예를 들어, 다음과 같이 씁니다.
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ lim x → + ∞   f ( x ) = + ∞ lim_(x rarr+oo)f(x)=+oo\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty
if, for every positive number M M MM, there exists another positive number X X XX such that f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M whenever x > X x > X x > Xx>X.
모든 양수 M M MM 에 대해, 다른 양수 X X XX 이 존재하여 x > X x > X x > Xx>X 일 때마다 f ( x ) > M f ( x ) > M f(x) > Mf(x)>M 이 되는 경우입니다.
The reader should have no difficulty in formulating similar definitions for the symbols
독자는 기호들에 대한 유사한 정의를 쉽게 공식화할 수 있을 것입니다.
lim x → − ∞ f ( x ) = + ∞ , lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ , and lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ lim x → − ∞   f ( x ) = + ∞ , lim x → + ∞   f ( x ) = − ∞ ,  and  lim x → − ∞   f ( x ) = − ∞ lim_(x rarr-oo)f(x)=+oo,quadlim_(x rarr+oo)f(x)=-oo,quad" and "quadlim_(x rarr-oo)f(x)=-oo\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty, \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty
examples. In Chapter 6 we proved that the logarithm function is increasing and unbounded on the positive real axis. We may express this fact briefly by writing
예시를 들어보겠습니다. 6장에서 우리는 로그 함수가 양의 실수 축에서 증가하며 상한이 없다는 것을 증명했습니다. 이 사실을 간략하게 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
lim x → + ∞ log ⁡ x = + ∞ lim x → + ∞   log ⁡ x = + ∞ lim_(x rarr+oo)log x=+oo\lim _{x \rightarrow+\infty} \log x=+\infty
We also proved in Chapter 6 that log ⁡ x < 0 log ⁡ x < 0 log x < 0\log x<0 when 0 < x < 1 0 < x < 1 0 < x < 10<x<1 and that the logarithm has no lower bound in the interval ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1). Therefore, we may also write lim x → 0 + log ⁡ x = − ∞ lim x → 0 +   log ⁡ x = − ∞ lim_(x rarr0+)log x=-oo\lim _{x \rightarrow 0+} \log x=-\infty.
또한 6장에서 log ⁡ x < 0 log ⁡ x < 0 log x < 0\log x<0 일 때 0 < x < 1 0 < x < 1 0 < x < 10<x<1 이며, 로그 함수가 구간 ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 에서 하한을 갖지 않는다는 것을 증명했습니다. 따라서 lim x → 0 + log ⁡ x = − ∞ lim x → 0 +   log ⁡ x = − ∞ lim_(x rarr0+)log x=-oo\lim _{x \rightarrow 0+} \log x=-\infty 이라고 쓸 수도 있습니다.
로그 함수와 지수 함수 사이의 관계로부터 다음과 같은 사실을 쉽게 증명할 수 있습니다.
lim x → + ∞ e x = + ∞ and lim x → − ∞ e x = 0 ( or lim x → + ∞ e − x = 0 ) lim x → + ∞   e x = + ∞  and  lim x → − ∞   e x = 0  or  lim x → + ∞   e − x = 0 lim_(x rarr+oo)e^(x)=+ooquad" and "quadlim_(x rarr-oo)e^(x)=0quad(" or "quadlim_(x rarr+oo)e^(-x)=0)\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0 \quad\left(\text { or } \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}=0\right)
이러한 결과들을 이용하면 α > 0 α > 0 alpha > 0\alpha>0 일 때 우리가 가진 것임을 보이는 것은 어렵지 않습니다.
lim x → + ∞ x α = + ∞ and lim x → + ∞ 1 x α = 0 lim x → + ∞   x α = + ∞  and  lim x → + ∞   1 x α = 0 lim_(x rarr+oo)x^(alpha)=+ooquad" and "quadlim_(x rarr+oo)(1)/(x^(alpha))=0\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha}=+\infty \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}=0
아이디어는 x α = e α log ⁡ x x α = e α log ⁡ x x^(alpha)=e^(alpha log x)x^{\alpha}=e^{\alpha \log x} 을 작성하고 (7.30)과 (7.29)을 함께 사용하는 것이다. (7.30)의 공식들은 또한 다음과 같은 관계를 제공한다.
lim x → 0 − e − 1 / x = + ∞ and lim x → 0 + e − 1 / x = 0 lim x → 0 −   e − 1 / x = + ∞  and  lim x → 0 +   e − 1 / x = 0 lim_(x rarr0-)e^(-1//x)=+ooquad" and "quadlim_(x rarr0+)e^(-1//x)=0\lim _{x \rightarrow 0-} e^{-1 / x}=+\infty \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow 0+} e^{-1 / x}=0
이러한 명제들의 증명은 ± ∞ ± ∞ +-oo\pm \infty 을 포함하는 극한 기호에 대한 독자의 이해도를 테스트하는 좋은 연습 문제가 된다.

7.16 큰 x x xx 에 대한 log ⁡ x log ⁡ x log x\log x 과 e x e x e^(x)e^{x} 의 행동

무한 극한은 새로운 유형의 부정형을 야기한다. 예를 들어, 우리는 x → a x → a x rarr ax \rightarrow a (또는 x → ± ∞ x → ± ∞ x rarr+-oox \rightarrow \pm \infty )로 갈 때 f ( x ) → + ∞ f ( x ) → + ∞ f(x)rarr+oof(x) \rightarrow+\infty 과 g ( x ) → + ∞ g ( x ) → + ∞ g(x)rarr+oog(x) \rightarrow+\infty 이 모두 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 이 되는 몫 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 을 가질 수 있다. 이 경우, 우리는 몫 f ( x ) / g ( x ) f ( x ) / g ( x ) f(x)//g(x)f(x) / g(x) 이 부정형 ∞ / ∞ ∞ / ∞ oo//oo\infty / \infty 을 가진다고 말한다. L’Hôpital의 규칙의 다양한 확장이 있어, 몫이 부정형 ∞ / ∞ ∞ / ∞ oo//oo\infty / \infty 을 가질 때 그 행동을 결정하는 데 종종 도움이 된다. 그러나 우리는 이러한 확장에 대해 논의하지 않을 것이다. 왜냐하면 실제로 발생하는 대부분의 예들은
로그 함수와 지수 함수의 큰 값에 대한 동작을 설명하는 다음 정리입니다.
정리 7.11. a > 0 a > 0 a > 0a>0 과 b > 0 b > 0 b > 0b>0 에 대해 다음이 성립한다
lim x → + ∞ ( log ⁡ x ) b x a = 0 lim x → + ∞   ( log ⁡ x ) b x a = 0 lim_(x rarr+oo)((log x)^(b))/(x^(a))=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(\log x)^{b}}{x^{a}}=0
그리고
lim x → + ∞ x b e a x = 0 lim x → + ∞   x b e a x = 0 lim_(x rarr+oo)(x^(b))/(e^(ax))=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{b}}{e^{a x}}=0
증명. 먼저 (7.31)을 증명한 다음 이를 이용해 (7.32)를 유도하겠습니다. (7.31)에 대한 간단한 증명은 적분으로 정의된 로그 함수의 정의에서 직접 유도할 수 있습니다. c > 0 c > 0 c > 0c>0 과 t ≥ 1 t ≥ 1 t >= 1t \geq 1 에 대해 t − 1 ≤ t c − 1 t − 1 ≤ t c − 1 t^(-1) <= t^(c-1)t^{-1} \leq t^{c-1} 입니다. 따라서 x > 1 x > 1 x > 1x>1 일 때 다음과 같이 쓸 수 있습니다
0 < log ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t ≤ ∫ 1 x t c − 1 d t = x c − 1 c < x c c 0 < log ⁡ x = ∫ 1 x   1 t d t ≤ ∫ 1 x   t c − 1 d t = x c − 1 c < x c c 0 < log x=int_(1)^(x)(1)/(t)dt <= int_(1)^(x)t^(c-1)dt=(x^(c)-1)/(c) < (x^(c))/(c)0<\log x=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t \leq \int_{1}^{x} t^{c-1} d t=\frac{x^{c}-1}{c}<\frac{x^{c}}{c}
따라서, 우리는 다음을 얻습니다.
0 < ( log ⁡ x ) b x a < x b c − a c b for every c > 0 . 0 < ( log ⁡ x ) b x a < x b c − a c b  for every  c > 0 . 0 < ((log x)^(b))/(x^(a)) < (x^(bc-a))/(c^(b))quad" for every "c > 0.0<\frac{(\log x)^{b}}{x^{a}}<\frac{x^{b c-a}}{c^{b}} \quad \text { for every } c>0 .
만약 c = 1 2 a / b c = 1 2 a / b c=(1)/(2)a//bc=\frac{1}{2} a / b 을 선택하면, x b c − a = x − a / 2 x b c − a = x − a / 2 x^(bc-a)=x^(-a//2)x^{b c-a}=x^{-a / 2} 이 되며 이는 x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 일 때 0에 수렴합니다. 이는 (7.31)을 증명합니다. (7.32)를 증명하기 위해 변수 치환 t = e x t = e x t=e^(x)t=e^{x} 을 적용합니다. 그러면 x = log ⁡ t x = log ⁡ t x=log tx=\log t 이 되고, 따라서 x b / e a x = ( log ⁡ t ) b / t a x b / e a x = ( log ⁡ t ) b / t a x^(b)//e^(ax)=(log t)^(b)//t^(a)x^{b} / e^{a x}=(\log t)^{b} / t^{a} 입니다. 그러나 t → + ∞ t → + ∞ t rarr+oot \rightarrow+\infty 은 x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 일 때이므로, (7.32)는 (7.31)로부터 도출됩니다.
o o oo -표기법의 자연스러운 확장을 통해, 방금 증명한 극한 관계를 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다.
( log ⁡ x ) b = o ( x a ) as x → + ∞ ( log ⁡ x ) b = o x a  as  x → + ∞ (log x)^(b)=o(x^(a))quad" as "quad x rarr+oo(\log x)^{b}=o\left(x^{a}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow+\infty
그리고
x b = o ( e a x ) as x → + ∞ x b = o e a x  as  x → + ∞ x^(b)=o(e^(ax))quad" as "quad x rarr+oox^{b}=o\left(e^{a x}\right) \quad \text { as } \quad x \rightarrow+\infty
다시 말해, b b bb 이 아무리 크고 a a aa 이 아무리 작더라도(둘 다 양수인 한), ( log ⁡ x ) b ( log ⁡ x ) b (log x)^(b)(\log x)^{b} 은 x a x a x^(a)x^{a} 보다 더 느리게 무한대로 발산합니다. 또한 x b x b x^(b)x^{b} 은 e a x e a x e^(ax)e^{a x} 보다 더 느리게 무한대로 발산합니다.
예제 1. 7.12절의 예제 4에서 우리는 x x xx 이 0에 가까울 때 e − 1 / x / x e − 1 / x / x e^(-1//x)//xe^{-1 / x} / x 의 행동이 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 에 대한 로피탈의 규칙을 아무리 여러 번 적용해도 결정되지 않음을 보였습니다. 그러나 만약 t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x 으로 표현한다면, 이 몫은 t / e t t / e t t//e^(t)t / e^{t} 이 되며 t → + ∞ t → + ∞ t rarr+oot \rightarrow+\infty 일 때 ∞ / ∞ ∞ / ∞ oo//oo\infty / \infty 의 부정형 형태를 취합니다. 정리 7.11은 다음과 같이 알려줍니다.
lim t → + ∞ t e t = 0 lim t → + ∞   t e t = 0 lim_(t rarr+oo)(t)/(e^(t))=0\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t}{e^{t}}=0
따라서, x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+ 일 때 e − 1 / x / x → 0 e − 1 / x / x → 0 e^(-1//x)//x rarr0e^{-1 / x} / x \rightarrow 0 또는 다른 말로 표현하면 x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+ 일 때 e − 1 / x = o ( x ) e − 1 / x = o ( x ) e^(-1//x)=o(x)e^{-1 / x}=o(x) 입니다.
0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 과 ∞ / ∞ ∞ / ∞ oo//oo\infty / \infty 외에도 다른 부정형 형태들이 존재합니다. 이 중 일부는 기호 0 ⋅ ∞ , 0 0 0 ⋅ ∞ , 0 0 0*oo,0^(0)0 \cdot \infty, 0^{0} , ∞ 0 ∞ 0 oo^(0)\infty^{0} 으로 표시되며, 아래 주어진 예제들로 설명됩니다. 이러한 예제들에서는 대수적 조작을 통해 종종 문제를 0 / 0 0 / 0 0//00 / 0 또는 ∞ / ∞ ∞ / ∞ oo//oo\infty / \infty 유형의 부정형 형태로 줄일 수 있으며, 이는 로피탈의 규칙, 다항식 근사, 또는 정리 7.11에 의해 처리될 수 있습니다.
예제 2. ( 0 ⋅ ∞ ) ( 0 ⋅ ∞ ) (0*oo)(0 \cdot \infty) . 각각 고정된 α > 0 α > 0 alpha > 0\alpha>0 에 대해 lim x → 0 + x α log ⁡ x = 0 lim x → 0 +   x α log ⁡ x = 0 lim_(x rarr0+)x^(alpha)log x=0\lim _{x \rightarrow 0+} x^{\alpha} \log x=0 임을 증명하라.
풀이. t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x 으로 나타내면, x α log ⁡ x = − ( log ⁡ t ) / t α x α log ⁡ x = − ( log ⁡ t ) / t α x^(alpha)log x=-(log t)//t^(alpha)x^{\alpha} \log x=-(\log t) / t^{\alpha} 을 얻으며, (7.31)에 의해 이는 t → + ∞ t → + ∞ t rarr+oot \rightarrow+\infty 일 때 0에 수렴한다.
예제 3. ( 0 0 ) 0 0 (0^(0))\left(0^{0}\right) . lim x → 0 + x x = 1 lim x → 0 +   x x = 1 lim_(x rarr0+)x^(x)=1\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x}=1 임을 보여라.
풀이. x x = e x log ⁡ x x x = e x log ⁡ x x^(x)=e^(x log x)x^{x}=e^{x \log x} 이므로, 지수 함수의 연속성에 의해 우리는
lim x → 0 + x x = exp ⁡ ( lim x → 0 + x log ⁡ x ) , lim x → 0 +   x x = exp ⁡ lim x → 0 +   x log ⁡ x , lim_(x rarr0+)x^(x)=exp(lim_(x rarr0+)x log x),\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x}=\exp \left(\lim _{x \rightarrow 0+} x \log x\right),
마지막 극한이 존재하는 경우에 한합니다. 그러나 예제 2에서 알 수 있듯이 x → 0 + x → 0 + x rarr0+x \rightarrow 0+ 일 때 x log ⁡ x → 0 x log ⁡ x → 0 x log x rarr0x \log x \rightarrow 0 이므로, x x → e 0 = 1 x x → e 0 = 1 x^(x)rarre^(0)=1x^{x} \rightarrow e^{0}=1 입니다.
예제 4. ( ∞ 0 ) ∞ 0 (oo^(0))\left(\infty^{0}\right) . lim x → + ∞ x 1 / x = 1 lim x → + ∞   x 1 / x = 1 lim_(x rarr+oo)x^(1//x)=1\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{1 / x}=1 임을 보이시오.
풀이. t = 1 / x t = 1 / x t=1//xt=1 / x 로 놓고 예제 3의 결과를 사용합니다.
7.10절에서 우리는 극한 관계들을 증명했습니다
lim x → 0 ( 1 + a x ) 1 / x = e x and lim x → 0 ( 1 + x ) a / x = e x lim x → 0   ( 1 + a x ) 1 / x = e x  and  lim x → 0   ( 1 + x ) a / x = e x lim_(x rarr0)(1+ax)^(1//x)=e^(x)quad" and "quadlim_(x rarr0)(1+x)^(a//x)=e^(x)\lim _{x \rightarrow 0}(1+a x)^{1 / x}=e^{x} \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{a / x}=e^{x}
이들 각각은 1 ∞ 1 ∞ 1^(oo)1^{\infty} 유형의 부정형입니다. 이 공식들에서 x x xx 을 1 / x 1 / x 1//x1 / x 으로 대체하면 각각 다음을 얻을 수 있습니다.
lim x → + ∞ ( 1 + a x ) x = e a and lim x → + ∞ ( 1 + 1 x ) a x = e a lim x → + ∞   1 + a x x = e a  and  lim x → + ∞   1 + 1 x a x = e a lim_(x rarr+oo)(1+(a)/(x))^(x)=e^(a)quad" and "quadlim_(x rarr+oo)(1+(1)/(x))^(ax)=e^(a)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a} \quad \text { and } \quad \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=e^{a}
이 두 식은 모든 실수 a a aa 에 대해 유효합니다.
관계식 (7.33)과 예제 2, 3, 4의 것들은 모두 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f(x)^(g(x))f(x)^{g(x)} 유형에 속합니다. 이러한 것들은 일반적으로 다음과 같이 표현하여 처리합니다.
f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) log ⁡ f ( x ) f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) log ⁡ f ( x ) f(x)^(g(x))=e^(g(x)log f(x))f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \log f(x)}
그런 다음 지수 부분 g ( x ) log ⁡ f ( x ) g ( x ) log ⁡ f ( x ) g(x)log f(x)g(x) \log f(x) 을 앞서 논의된 방법 중 하나로 다룹니다.

7.17 연습문제

1번부터 25번까지의 극한을 계산하시오. a a aa 과 b b bb 은 양의 상수를 나타낸다.
  1. lim x → 0 e − 1 / x 2 x 1000 lim x → 0   e − 1 / x 2 x 1000 lim_(x rarr0)(e^(-1//x^(2)))/(x^(1000))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{-1 / x^{2}}}{x^{1000}}.
  2. lim x → + ∞ sin ⁡ ( 1 / x ) arctan ⁡ ( 1 / x ) lim x → + ∞   sin ⁡ ( 1 / x ) arctan ⁡ ( 1 / x ) lim_(x rarr+oo)(sin(1//x))/(arctan(1//x))\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin (1 / x)}{\arctan (1 / x)}.
  3. lim x → 1 2 π tan ⁡ 3 x tan ⁡ x lim x → 1 2 π   tan ⁡ 3 x tan ⁡ x lim_(x rarr(1)/(2)pi)(tan 3x)/(tan x)\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2} \pi} \frac{\tan 3 x}{\tan x}.
  4. lim x → + ∞ log ⁡ ( a + b e x ) a + b x 2 lim x → + ∞   log ⁡ a + b e x a + b x 2 lim_(x rarr+oo)(log(a+be^(x)))/(sqrt(a+bx^(2)))\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\log \left(a+b e^{x}\right)}{\sqrt{a+b x^{2}}}.
  5. lim x → + ∞ x 4 ( cos ⁡ 1 x − 1 + 1 2 x 2 ) lim x → + ∞   x 4 cos ⁡ 1 x − 1 + 1 2 x 2 lim_(x rarr+oo)x^(4)(cos((1)/(x))-1+(1)/(2x^(2)))\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{4}\left(\cos \frac{1}{x}-1+\frac{1}{2 x^{2}}\right).
  6. lim x → π log ⁡ | sin ⁡ x | log ⁡ | sin ⁡ 2 x | lim x → π   log ⁡ | sin ⁡ x | log ⁡ | sin ⁡ 2 x | lim_(x rarr pi)(log |sin x|)/(log |sin 2x|)\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\log |\sin x|}{\log |\sin 2 x|}.
  7. lim x → 1 2 − log ⁡ ( 1 − 2 x ) tan ⁡ π x lim x → 1 2 −   log ⁡ ( 1 − 2 x ) tan ⁡ π x lim_(x rarr(1)/(2)-)(log(1-2x))/(tan pi x)\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}-} \frac{\log (1-2 x)}{\tan \pi x}.
  8. lim x → + ∞ cosh ⁡ ( x + 1 ) e x lim x → + ∞   cosh ⁡ ( x + 1 ) e x lim_(x rarr+oo)(cosh(x+1))/(e^(x))\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cosh (x+1)}{e^{x}}.
  9. lim x → + ∞ a x x b , a > 1 lim x → + ∞   a x x b , a > 1 lim_(x rarr+oo)(a^(x))/(x^(b)),quad a > 1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^{x}}{x^{b}}, \quad a>1.
  10. lim x → 1 2 π tan ⁡ x − 5 sec ⁡ x + 4 lim x → 1 2 π   tan ⁡ x − 5 sec ⁡ x + 4 lim_(x rarr(1)/(2)pi)(tan x-5)/(sec x+4)\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2} \pi} \frac{\tan x-5}{\sec x+4}.
  11. lim x → 0 + 1 x ( 1 sin ⁡ x − 1 x ) lim x → 0 +   1 x 1 sin ⁡ x − 1 x lim_(x rarr0+)(1)/(sqrtx)((1)/(sin x)-(1)/(x))\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right).
  12. lim x → + ∞ x 1 / 4 sin ⁡ ( 1 / x ) lim x → + ∞   x 1 / 4 sin ⁡ ( 1 / x ) lim_(x rarr+oo)x^(1//4)sin(1//sqrtx)\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{1 / 4} \sin (1 / \sqrt{x}).
  13. lim x → 0 ( 1 log ⁡ ( x + 1 + x 2 ) − 1 log ⁡ 1 ( + x ) ) lim x → 0   1 log ⁡ x + 1 + x 2 − 1 log ⁡ 1 ( + x ) lim_(x rarr0)((1)/(log(x+sqrt(1+x^(2))))-(1)/(log 1(+x)))\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\log \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}-\frac{1}{\log 1(+x)}\right).
  14. lim x → + ∞ ( x 2 − x 4 − x 2 + 1 ) lim x → + ∞   x 2 − x 4 − x 2 + 1 lim_(x rarr+oo)(x^(2)-sqrt(x^(4)-x^(2)+1))\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\right).
  15. lim x → 0 + [ log ⁡ x ( 1 + x ) 2 − log ⁡ ( x 1 + x ) ] lim x → 0 +   log ⁡ x ( 1 + x ) 2 − log ⁡ x 1 + x lim_(x rarr0+)[(log x)/((1+x)^(2))-log((x)/(1+x))]\lim _{x \rightarrow 0+}\left[\frac{\log x}{(1+x)^{2}}-\log \left(\frac{x}{1+x}\right)\right].
  16. lim x → 1 − ( log ⁡ x ) log ⁡ ( 1 − x ) lim x → 1 −   ( log ⁡ x ) log ⁡ ( 1 − x ) lim_(x rarr1-)(log x)log(1-x)\lim _{x \rightarrow 1-}(\log x) \log (1-x).
  17. lim x → 0 + x ( x x − 1 ) lim x → 0 +   x x x − 1 lim_(x rarr0+)x^((x^(x)-1))\lim _{x \rightarrow 0+} x^{\left(x^{x}-1\right)}.
  18. lim x → 0 + [ x ( x r ) − 1 ] lim x → 0 +   x x r − 1 lim_(x rarr0+)[x^((x^(r)))-1]\lim _{x \rightarrow 0+}\left[x^{\left(x^{r}\right)}-1\right].
  19. lim x → 0 − ( 1 − 2 x ) sin ⁡ x lim x → 0 −   1 − 2 x sin ⁡ x lim_(x rarr0-)(1-2^(x))^(sin x)\lim _{x \rightarrow 0-}\left(1-2^{x}\right)^{\sin x}.
  20. lim x → 0 + x 1 / log ⁡ x lim x → 0 +   x 1 / log ⁡ x lim_(x rarr0^(+))x^(1//log x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{1 / \log x}.
  21. lim x → 0 + ( cot ⁡ x ) sin ⁡ x lim x → 0 +   ( cot ⁡ x ) sin ⁡ x lim_(x rarr0+)(cot x)^(sin x)\lim _{x \rightarrow 0+}(\cot x)^{\sin x}.
  22. lim x → 1 2 π ( tan ⁡ x ) tan ⁡ 2 x lim x → 1 2 π   ( tan ⁡ x ) tan ⁡ 2 x lim_(x rarr(1)/(2)pi)(tan x)^(tan 2x)\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2} \pi}(\tan x)^{\tan 2 x}.
  23. lim x → 0 + ( log ⁡ 1 x ) x lim x → 0 +   log ⁡ 1 x x lim_(x rarr0+)(log((1)/(x)))^(x)\lim _{x \rightarrow 0+}\left(\log \frac{1}{x}\right)^{x}.
  24. lim x → 0 + x e / ( 1 + log ⁡ x ) lim x → 0 +   x e / ( 1 + log ⁡ x ) lim_(x rarr0^(+))x^(e//(1+log x))\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{e /(1+\log x)}.
  25. lim x → 1 ( 2 − x ) tan ⁡ ( π x / 2 ) lim x → 1   ( 2 − x ) tan ⁡ ( π x / 2 ) lim_(x rarr1)(2-x)^(tan(pi x//2))\lim _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\tan (\pi x / 2)}.
  26. 다음을 만족하는 c c cc 을 구하시오
lim x → + ∞ ( x + c x − c ) x = 4 lim x → + ∞   x + c x − c x = 4 lim_(x rarr+oo)((x+c)/(x-c))^(x)=4\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^{x}=4
  1. x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 ( 1 + x ) c = 1 + c x + o ( x ) ( 1 + x ) c = 1 + c x + o ( x ) (1+x)^(c)=1+cx+o(x)(1+x)^{c}=1+c x+o(x) 임을 증명하시오. 이를 이용하여 극한을 계산하시오
{ ( x 4 + x 2 ) 1 / 2 − x 2 } as x → + ∞ . x 4 + x 2 1 / 2 − x 2  as  x → + ∞ . {(x^(4)+x^(2))^(1//2)-x^(2)}quad" as "x rarr+oo.\left\{\left(x^{4}+x^{2}\right)^{1 / 2}-x^{2}\right\} \quad \text { as } x \rightarrow+\infty .
  1. 어떤 값 c c cc 에 대해 극한
lim x → + ∞ { ( x 5 + 7 x 4 + 2 ) c − x } lim x → + ∞   x 5 + 7 x 4 + 2 c − x lim_(x rarr+oo){(x^(5)+7x^(4)+2)^(c)-x}\lim _{x \rightarrow+\infty}\left\{\left(x^{5}+7 x^{4}+2\right)^{c}-x\right\}
이 유한하고 0이 아닌 값을 가집니다. 이 c c cc 을 결정하고 극한값을 계산하시오.
29. g ( x ) = x e x 2 g ( x ) = x e x 2 g(x)=xe^(x^(2))g(x)=x e^{x^{2}} 로 두고 f ( x ) = ∫ 1 x g ( t ) ( t + 1 / t ) d t f ( x ) = ∫ 1 x   g ( t ) ( t + 1 / t ) d t f(x)=int_(1)^(x)g(t)(t+1//t)dtf(x)=\int_{1}^{x} g(t)(t+1 / t) d t 이라 합시다. x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 에 대한 f ′ ′ ( x ) / g ′ ′ ( x ) f ′ ′ ( x ) / g ′ ′ ( x ) f^('')(x)//g^('')(x)f^{\prime \prime}(x) / g^{\prime \prime}(x) 의 극한을 계산하시오.
30. g ( x ) = x c e 2 x g ( x ) = x c e 2 x g(x)=x^(c)e^(2x)g(x)=x^{c} e^{2 x} 로 두고 f ( x ) = ∫ 0 x e 2 t ( 3 t 2 + 1 ) 1 / 2 d t f ( x ) = ∫ 0 x   e 2 t 3 t 2 + 1 1 / 2 d t f(x)=int_(0)^(x)e^(2t)(3t^(2)+1)^(1//2)dtf(x)=\int_{0}^{x} e^{2 t}\left(3 t^{2}+1\right)^{1 / 2} d t 이라 합시다. 어떤 값 c c cc 에 대해, x → + ∞ x → + ∞ x rarr+oox \rightarrow+\infty 에 대한 f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f ′ ( x ) / g ′ ( x ) f^(')(x)//g^(')(x)f^{\prime}(x) / g^{\prime}(x) 의 극한이 유한하고 0이 아닌 값을 가집니다. c c cc 을 결정하고 극한값을 계산하시오.
31. f ( x ) = e − 1 / x 2 f ( x ) = e − 1 / x 2 f(x)=e^(-1//x^(2))f(x)=e^{-1 / x^{2}} 이고 x ≠ 0 x ≠ 0 x!=0x \neq 0 일 때 f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0f(0)=0 라 하자.
(a) 모든 m > 0 , f ( x ) / x m → 0 m > 0 , f ( x ) / x m → 0 m > 0,f(x)//x^(m)rarr0m>0, f(x) / x^{m} \rightarrow 0 에 대해 x → 0 x → 0 x rarr0x \rightarrow 0 일 때 @2# 임을 증명하라.
(b) x ≠ 0 x ≠ 0 x!=0x \neq 0 에 대해 f f ff 의 n n nn 계 도함수는 f ( n ) ( x ) = f ( x ) P ( 1 / x ) f ( n ) ( x ) = f ( x ) P ( 1 / x ) f^((n))(x)=f(x)P(1//x)f^{(n)}(x)=f(x) P(1 / x) 형태를 가짐을 증명하라. 여기서 P ( t ) P ( t ) P(t)P(t) 는 t t tt 에 대한 다항식이다.
(c) 모든 n ≥ 1 n ≥ 1 n >= 1n \geq 1 에 대해 f ( n ) ( 0 ) = 0 f ( n ) ( 0 ) = 0 f^((n))(0)=0f^{(n)}(0)=0 임을 증명하라. 이는 f f ff 에 의해 생성된 0에서의 모든 테일러 다항식이 영 다항식임을 보여준다.
32. P P PP 달러가 연간 이자율 r r rr 로 연간 m m mm 번 복리 계산되는 은행에 예금됩니다. (예를 들어, r = 0.06 r = 0.06 r=0.06r=0.06 은 연간 이자율이 6 % 6 % 6%6 \% 일 때입니다.) (a) n n nn 년 후의 원금과 이자의 총액이 P ( 1 + r / m ) m n P ( 1 + r / m ) m n P(1+r//m)^(mn)P(1+r / m)^{m n} 임을 증명하세요. r r rr 과 n n nn 이 고정된 상태에서 이 금액은 m → + ∞ m → + ∞ m rarr+oom \rightarrow+\infty 에 따라 한계 P e r n P e r n Pe^(rn)P e^{r n} 에 접근합니다. 이는 다음과 같은 정의를 유도합니다: 연간 이자율 r r rr 로 지속적으로 복리 계산될 때 t t tt 년 후의 금액 f ( t ) f ( t ) f(t)f(t) 이 f ( 0 ) e r t f ( 0 ) e r t f(0)e^(rt)f(0) e^{r t} 인 경우, 여기서 t t tt 는 음이 아닌 실수입니다. 연간 이자율 6 % 6 % 6%6 \% 로 복리 계산될 때 은행 계좌의 가치가 두 배가 되는 데 대략 얼마나 걸릴까요? (b) 지속적으로 복리 계산될 때? (c) 연간 네 번 복리 계산될 때?
  1. † † †\dagger 에드문트 란다우(1877-1938)는 수학에 많은 중요한 기여를 한 유명한 독일 수학자였습니다. 그는 해석학과 정수론 분야에서 명료한 저서로 가장 잘 알려져 있습니다.