从风险共担到大量异质损失的纯保费计算
米歇尔·德努伊
a
,
∗
a
,
∗
^(a,**) { }^{\mathrm{a}, *}
b
b
^(b) { }^{\mathrm{b}}
a
a
^(a) { }^{\mathrm{a}}
b
b
^(b) { }^{\mathrm{b}}
文章信息 文章历史： 收到于 2020年3月 修订稿收到于 2020年8月 接受于 2020年11月6日 在线发布于 2020年11月19日
JEL 分类： G22
关键词： 风险共担 点对点（P2P）保险 大数定律 中心极限定理 偏倚大小变换
摘要 本文考虑了独立但异质损失在保险池中集合时的线性公平风险分摊规则和条件均值风险分摊规则。研究了当参与池的成员数量趋于无穷大时，个人对总损失的贡献的渐近行为。研究表明：(i) 当保险池规模无限大时，可以得到纯保费保险；(ii) 实际贡献与纯保费之间的差异最终服从正态分布。然后确定了近似于条件均值风险分摊规则的线性公平风险分摊规则，为在大池中提供了一个实用的简化方法。此外，根据建立的渐近正态性，计算出了保持个人贡献波动性在可接受范围内的大致参与者数量。
© 2020 Elsevier B.V. 版权所有。
1. 引言与动机 风险池化在精算科学中受到了广泛关注。最近，这一话题在协作保险或点对点（P2P）保险系统的情境下被重新审视。P2P 保险方案允许参与者分享各自的损失，重新激活了使用众多贡献来平衡少数不幸者的补偿机制。参见，例如，Abdikerimova 和 Feng (2019) 及其参考文献。
许多关于保险池创建的解释基于大数定律和中心极限定理。分析通常仅限于独立且同分布的风险情况，并使用概率论中的这些基本结果来证明随着投资组合规模的增加，每位参与者的平均损失会更加集中在均值附近。尽管独立性对于许多保险风险来说可以被视为合理的近似，但同质性则值得怀疑。在本文中，我们考虑一个保险池，其中参与者面临的是独立但异质的风险，并研究
随着参与者数量增加，风险分摊规则的渐近行为。
在设置共保安排时，重要的是根据一个能够被参与者接受的有意义的原则来分摊损失。在 P2P 保险系统中，通常会应用线性风险分摊规则。在人寿保险中，文献中提出了几种相互继承方案，并强调了这样的风险分摊规则。我们建议读者参见 Donnelly 和 Young（2017）。正如 Donnelly（2015）所展示的，公平性的概念（即所有参与者的预期收益为零）对于这种共保方案非常重要。与线性公平风险分摊规则相比，非线性风险分摊规则目前尚未得到太多关注。原因可能是它们被认为在实践中并不相关。然而，Denuit 和 Dhaene（2012）定义的条件均值风险分摊规则是透明的，并且相对容易向参与者传达（基于熟悉的平均概念），尽管它通常是非线性的。根据这一规则，每个参与者贡献的是给定整个共保池所经历的总损失条件下损失的条件期望。 在 Denuit（2019）和 Denuit 和 Robert（2020a,c）的研究中，当参与者数量固定时，已研究了条件均值风险分配的性质。条件均值风险分担规则满足风险交换公平性条件，并且具有许多吸引人的理论性质，因此可以被视为 P2P 保险应用中的参考风险分担规则。
在独立（但不相差太大）的风险假设下，随着参与者数量的增加，池内的风险分散化预计会发生，并且每个参与者的财务贡献将趋于其各自损失的期望值。在本文中，我们研究了线性和条件均值风险分担规则的渐近行为，并提取了一个特定的线性风险分担规则，该规则在渐近意义上等同于条件均值风险分担规则。这对于实践尤为重要。
作为本文结果的应用，我们仔细证明了即使损失不一致，分池安排也能使所有风险厌恶的经济主体受益。当保险公司在运营分池安排时，这也表明，每位投保人可以被收取纯粹的个体保费金额，而不违背互助原则。因此，风险分类并不与保险的核心原理——大数法则——相冲突，这常常是人们所声称的。本文推导出的近似质量通过考虑参与 P2P 保险社区的个人贡献进行数值评估。借助中心极限定理评估其波动性，线性近似结果出乎意料地准确。正态近似也被用来评估所需的分池规模，以将波动性降低到可接受的水平。
本文的其余部分组织如下。在第 2 节中，我们介绍了公平线性风险分担规则以及条件均值风险分担规则。在第 3 节中，在温和的技术条件下，建立了个人贡献以概率 1 收敛到损失的数学期望（或纯保费）。在第 4 节中，我们建立了个人贡献的中心极限定理，这对于了解 P2P 贡献围绕纯保费的波动性特别有用。在第 5 节中，研究了个人贡献向纯保费收敛的速度和半径。第 6 节将这些结果应用于分池安排。一个数值例子说明了前面各节推导出的近似值的质量。最后，第 7 节简要讨论了这些结果。为了方便，证明内容集中在附录中。
本文全文采用以下记号。对于两个在无穷邻域内定义的正函数
g
1
g
1
g_(1) g_{1}
g
2
g
2
g_(2) g_{2}
g
1
=
o
(
g
2
)
g
1
=
o
g
2
g_(1)=o(g_(2)) g_{1}=o\left(g_{2}\right)
lim
x
→
∞
g
1
(
x
)
/
g
2
(
x
)
=
0
lim
x
→
∞
g
1
(
x
)
/
g
2
(
x
)
=
0
lim_(x rarr oo)g_(1)(x)//g_(2)(x)=0 \lim _{x \rightarrow \infty} g_{1}(x) / g_{2}(x)=0
g
1
=
O
(
g
2
)
g
1
=
O
g
2
g_(1)=O(g_(2)) g_{1}=O\left(g_{2}\right)
lim
x
→
∞
|
g
1
(
x
)
/
g
2
(
x
)
|
<
∞
lim
x
→
∞
g
1
(
x
)
/
g
2
(
x
)
<
∞
lim_(x rarr oo)|g_(1)(x)//g_(2)(x)| < oo \lim _{x \rightarrow \infty}\left|g_{1}(x) / g_{2}(x)\right|<\infty 2. 风险分担规则 2.1. 公平风险分担规则 考虑有
n
n
n n
i
=
1
,
2
,
…
,
n
i
=
1
,
2
,
…
,
n
i=1,2,dots,n i=1,2, \ldots, n
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
X
1
,
X
2
,
X
3
,
…
X_(1),X_(2),X_(3),dots X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots
μ
i
=
E
[
X
i
]
>
0
μ
i
=
E
X
i
>
0
mu_(i)=E[X_(i)] > 0 \mu_{i}=\mathrm{E}\left[X_{i}\right]>0
σ
i
2
=
Var
[
X
i
]
>
0
σ
i
2
=
Var
X
i
>
0
sigma_(i)^(2)=Var[X_(i)] > 0 \sigma_{i}^{2}=\operatorname{Var}\left[X_{i}\right]>0
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
μ
i
μ
i
mu_(i) \mu_{i}
σ
i
2
σ
i
2
sigma_(i)^(2) \sigma_{i}^{2}
μ
i
=
μ
i
=
mu_(i)= \mu_{i}=
0
⇔
X
i
=
0
0
⇔
X
i
=
0
0<=>X_(i)=0 0 \Leftrightarrow X_{i}=0
σ
i
2
=
0
⇔
X
i
=
μ
i
σ
i
2
=
0
⇔
X
i
=
μ
i
sigma_(i)^(2)=0<=>X_(i)=mu_(i) \sigma_{i}^{2}=0 \Leftrightarrow X_{i}=\mu_{i} 在许多关于保险的文献中，随机变量
X
i
X
i
X_(i) X_{i} 例 2.1（解释变量）。一个典型的情况是，当预测解释变量
Z
i
Z
i
Z_(i) \boldsymbol{Z}_{i}
Y
i
Y
i
Y_(i) Y_{i}
Y
1
,
Z
1
Y
1
,
Z
1
Y_(1),Z_(1) Y_{1}, \boldsymbol{Z}_{1}
(
Y
2
,
Z
2
)
,
…
Y
2
,
Z
2
,
…
(Y_(2),Z_(2)),dots \left(Y_{2}, \boldsymbol{Z}_{2}\right), \ldots
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
Y
i
Y
i
Y_(i) Y_{i}
Z
i
=
z
i
Z
i
=
z
i
Z_(i)=z_(i) \boldsymbol{Z}_{i}=\boldsymbol{z}_{i}
μ
i
=
E
[
Y
i
∣
Z
i
=
μ
i
=
E
Y
i
∣
Z
i
=
mu_(i)=E[Y_(i)∣Z_(i)=:} \mu_{i}=\mathrm{E}\left[Y_{i} \mid \boldsymbol{Z}_{i}=\right. 博尔奇（1962）在温和假设下证明了，在参与者最优风险共担仅依赖于总损失
S
n
=
S
n
=
S_(n)= S_{n}=
∑
i
=
1
n
X
i
∑
i
=
1
n
X
i
sum_(i=1)^(n)X_(i) \sum_{i=1}^{n} X_{i}
h
i
,
n
(
s
)
h
i
,
n
(
s
)
h_(i,n)(s) h_{i, n}(s)
i
i
i i
s
=
∑
i
=
1
n
x
i
s
=
∑
i
=
1
n
x
i
s=sum_(i=1)^(n)x_(i) s=\sum_{i=1}^{n} x_{i}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_(1),x_(2),dots,x_(n) x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_(1),X_(2),dots,X_(n) X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} 定义 2.2。公平的风险共担规则是一种分配方案，使得对于所有
n
=
1
,
2
,
…
n
=
1
,
2
,
…
n=1,2,dots n=1,2, \ldots
h
1
,
n
,
…
,
h
n
,
n
h
1
,
n
,
…
,
h
n
,
n
h_(1,n),dots,h_(n,n) h_{1, n}, \ldots, h_{n, n}
∑
i
=
1
n
h
i
,
n
(
s
)
=
s
for all
s
≥
0
and
E
[
h
i
,
n
(
S
n
)
]
=
E
[
X
i
]
for
i
=
1
,
…
,
n
∑
i
=
1
n
h
i
,
n
(
s
)
=
s
for all
s
≥
0
and
E
h
i
,
n
S
n
=
E
X
i
for
i
=
1
,
…
,
n
{:[sum_(i=1)^(n)h_(i,n)(s)=s" for all "s >= 0" and "E[h_(i,n)(S_(n))]=E[X_(i)]],[quad" for "i=1","dots","n]:} \begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n} h_{i, n}(s)=s \text { for all } s \geq 0 \text { and } \mathrm{E}\left[h_{i, n}\left(S_{n}\right)\right]=\mathrm{E}\left[X_{i}\right] \\
& \quad \text { for } i=1, \ldots, n
\end{aligned} 定义2.2的第一个条件意味着总风险
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
n
n
n n 而在风险共担的背景下，精算公平性具有吸引力。然而，Buhlmann 和 Jewell（1979）基于市场价值考虑了另一种公平性概念（假设存在一个流动的保险市场）。在这种情况下，期望值是在市场定价测度下而非在实际测度下计算的。例如，Schumacher（2018）对基于市场价值的线性风险共担规则进行了贡献。
2.2. 线性公平共担规则 当参与者加入共担池时，他们会被告知根据实际发生的总损失
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
h
i
,
n
(
S
n
)
h
i
,
n
S
n
h_(i,n)(S_(n)) h_{i, n}\left(S_{n}\right)
h
i
,
n
h
i
,
n
h_(i,n) h_{i, n}
h
i
,
n
lin
(
S
n
)
=
E
[
X
i
]
+
a
i
,
n
(
S
n
−
E
[
S
n
]
)
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
h
i
,
n
lin
S
n
=
E
X
i
+
a
i
,
n
S
n
−
E
S
n
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
h_(i,n)^(lin)(S_(n))=E[X_(i)]+a_(i,n)(S_(n)-E[S_(n)]),quad i=1,2,dots,n h_{i, n}^{\operatorname{lin}}\left(S_{n}\right)=\mathrm{E}\left[X_{i}\right]+a_{i, n}\left(S_{n}-\mathrm{E}\left[S_{n}\right]\right), \quad i=1,2, \ldots, n ,
的线性风险共担方案尤其具有吸引力。显然，这样的线性风险共担方案将全部风险
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
E
[
h
i
,
n
(
S
n
)
]
=
E
[
X
i
]
E
h
i
,
n
S
n
=
E
X
i
E[h_(i,n)(S_(n))]=E[X_(i)] \mathrm{E}\left[h_{i, n}\left(S_{n}\right)\right]=\mathrm{E}\left[X_{i}\right]
i
=
1
,
…
,
n
i
=
1
,
…
,
n
i=1,dots,n i=1, \ldots, n
h
i
,
n
lin
h
i
,
n
lin
h_(i,n)^("lin ") h_{i, n}^{\text {lin }} 函数
{
h
i
,
n
lin
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
}
h
i
,
n
lin
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{h_(i,n)^("lin "),i=1,2,dots,n} \left\{h_{i, n}^{\text {lin }}, i=1,2, \ldots, n\right\}
E
[
X
i
]
E
X
i
E[X_(i)] \mathrm{E}\left[X_{i}\right]
a
i
,
n
a
i
,
n
a_(i,n) a_{i, n}
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
E
[
S
n
]
E
S
n
E[S_(n)] \mathrm{E}\left[S_{n}\right]
a
i
,
n
a
i
,
n
a_(i,n) a_{i, n}
a
i
,
n
a
i
,
n
a_(i,n) a_{i, n} 在本论文中，将在接下来的例子中展示这是可能的。 例2.3（比例规则）。参与者可以同意按固定百分比分摊总损失，根据他们带来的风险相对于总预期损失的预期值来确定，即
a
i
,
n
prop
=
E
[
X
i
]
E
[
S
n
]
a
i
,
n
prop
=
E
X
i
E
S
n
a_(i,n)^("prop ")=(E[X_(i)])/(E[S_(n)]) a_{i, n}^{\text {prop }}=\frac{\mathrm{E}\left[X_{i}\right]}{\mathrm{E}\left[S_{n}\right]} .
参与者
i
i
i i
h
i
,
n
prop
(
S
n
)
=
E
[
X
i
]
+
a
i
,
n
prop
(
S
n
−
E
[
S
n
]
)
=
E
[
X
i
]
E
[
S
n
]
S
n
h
i
,
n
prop
S
n
=
E
X
i
+
a
i
,
n
prop
S
n
−
E
S
n
=
E
X
i
E
S
n
S
n
h_(i,n)^("prop ")(S_(n))=E[X_(i)]+a_(i,n)^("prop ")(S_(n)-E[S_(n)])=(E[X_(i)])/(E[S_(n)])S_(n) h_{i, n}^{\text {prop }}\left(S_{n}\right)=\mathrm{E}\left[X_{i}\right]+a_{i, n}^{\text {prop }}\left(S_{n}-\mathrm{E}\left[S_{n}\right]\right)=\frac{\mathrm{E}\left[X_{i}\right]}{\mathrm{E}\left[S_{n}\right]} S_{n} .
这一规则曾被 Donnelly 和 Young（2017）应用。例如，在
h
i
,
n
prop
h
i
,
n
prop
h_(i,n)^("prop ") h_{i, n}^{\text {prop }}
i
1
i
1
i_(1) i_{1}
i
2
i
2
i_(2) i_{2}
μ
i
1
=
μ
i
2
μ
i
1
=
μ
i
2
mu_(i_(1))=mu_(i_(2)) \mu_{i_{1}}=\mu_{i_{2}} 例 2.4（线性回归规则）。参与者也可能同意一个稍微复杂的方案。由于
Var
[
S
n
]
<
∞
Var
S
n
<
∞
Var[S_(n)] < oo \operatorname{Var}\left[S_{n}\right]<\infty
a
i
,
n
reg
=
σ
i
2
∑
j
=
1
n
σ
j
2
a
i
,
n
reg
=
σ
i
2
∑
j
=
1
n
σ
j
2
a_(i,n)^(reg)=(sigma_(i)^(2))/(sum_(j=1)^(n)sigma_(j)^(2)) a_{i, n}^{\mathrm{reg}}=\frac{\sigma_{i}^{2}}{\sum_{j=1}^{n} \sigma_{j}^{2}} .
现在，参与者根据他们带到池中的风险的相对波动性与总损失的波动性之比来分配纯保费的偏差。相应的风险分摊规则是所有线性规则
h
i
,
n
lin
h
i
,
n
lin
h_(i,n)^("lin ") h_{i, n}^{\text {lin }}
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
E
[
(
X
i
−
h
i
,
n
reg
(
S
n
)
)
2
]
=
min
a
∈
R
E
[
(
X
i
−
E
[
X
i
]
−
a
(
S
n
−
E
[
S
n
]
)
)
2
]
E
X
i
−
h
i
,
n
reg
S
n
2
=
min
a
∈
R
E
X
i
−
E
X
i
−
a
S
n
−
E
S
n
2
E[(X_(i)-h_(i,n)^(reg)(S_(n)))^(2)]=min_(a inR)E[(X_(i)-E[X_(i)]-a(S_(n)-E[S_(n)]))^(2)] \mathrm{E}\left[\left(X_{i}-h_{i, n}^{\mathrm{reg}}\left(S_{n}\right)\right)^{2}\right]=\min _{a \in \mathbb{R}} \mathrm{E}\left[\left(X_{i}-\mathrm{E}\left[X_{i}\right]-a\left(S_{n}-\mathrm{E}\left[S_{n}\right]\right)\right)^{2}\right] .
此最小化问题的解
a
a
a a
a
=
Cov
[
X
i
,
S
n
]
Var
[
S
n
]
=
σ
i
2
∑
j
=
1
n
σ
j
2
=
a
i
,
n
reg
a
=
Cov
X
i
,
S
n
Var
S
n
=
σ
i
2
∑
j
=
1
n
σ
j
2
=
a
i
,
n
reg
a=(Cov[X_(i),S_(n)])/(Var[S_(n)])=(sigma_(i)^(2))/(sum_(j=1)^(n)sigma_(j)^(2))=a_(i,n)^(reg) a=\frac{\operatorname{Cov}\left[X_{i}, S_{n}\right]}{\operatorname{Var}\left[S_{n}\right]}=\frac{\sigma_{i}^{2}}{\sum_{j=1}^{n} \sigma_{j}^{2}}=a_{i, n}^{\mathrm{reg}} .
相应的风险分摊规则
h
i
,
n
reg
(
S
n
)
=
E
[
X
i
]
+
σ
i
2
∑
j
=
1
n
σ
j
2
(
S
n
−
E
[
S
n
]
)
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
h
i
,
n
reg
S
n
=
E
X
i
+
σ
i
2
∑
j
=
1
n
σ
j
2
S
n
−
E
S
n
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
h_(i,n)^(reg)(S_(n))=E[X_(i)]+(sigma_(i)^(2))/(sum_(j=1)^(n)sigma_(j)^(2))(S_(n)-E[S_(n)]),quad i=1,2,dots,n h_{i, n}^{\mathrm{reg}}\left(S_{n}\right)=\mathrm{E}\left[X_{i}\right]+\frac{\sigma_{i}^{2}}{\sum_{j=1}^{n} \sigma_{j}^{2}}\left(S_{n}-\mathrm{E}\left[S_{n}\right]\right), \quad i=1,2, \ldots, n ,
因此被称为线性回归规则。在此规则下，总损失与纯保费之间的偏差根据风险波动性在参与者之间分配。 线性分担规则可能存在潜在缺陷。在按比例分担风险的规则下，波动性未被考虑，因为即使各自的方差
Var
[
X
i
1
]
Var
X
i
1
Var[X_(i_(1))] \operatorname{Var}\left[X_{i_{1}}\right]
Var
[
X
i
2
]
Var
X
i
2
Var[X_(i_(2))] \operatorname{Var}\left[X_{i_{2}}\right]
i
1
i
1
i_(1) i_{1}
i
2
i
2
i_(2) i_{2}
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
a
i
,
n
a
i
,
n
a_(i,n) a_{i, n}
b
b
b b
X
1
X
1
X_(1) X_{1}
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
h
1
lin
(
S
n
)
>
b
h
1
lin
S
n
>
b
h_(1)^("lin ")(S_(n)) > b h_{1}^{\text {lin }}\left(S_{n}\right)>b
S
n
=
0
S
n
=
0
S_(n)=0 S_{n}=0 这些线性规则的缺点解释了为什么下一节中提出的非线性风险分担规则可能更具吸引力。尽管如此，线性回归规则在实践中仍然有用，因为它们简单易用。 我们还将证明，在大风险池中（在这种情况下，前面讨论的缺陷不太可能发生，因为当
n
n
n n
S
n
=
0
S
n
=
0
S_(n)=0 S_{n}=0 2.3 条件均值风险分担规则 参与者也可能同意采用一种非线性风险分担机制，在这种机制中，分配给社区成员的金额是基于实际总损失的一般（即不一定线性）函数。Denuit 和 Dhaene（2012）提出了一种特别适用于点对点保险的非线性风险分担方案：定义为条件均值风险分担
h
i
,
n
⋆
(
S
n
)
=
E
[
X
i
∣
S
n
]
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
h
i
,
n
⋆
S
n
=
E
X
i
∣
S
n
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
h_(i,n)^(***)(S_(n))=E[X_(i)∣S_(n)],quad i=1,2,dots,n h_{i, n}^{\star}\left(S_{n}\right)=\mathrm{E}\left[X_{i} \mid S_{n}\right], \quad i=1,2, \ldots, n .
自
Var
[
S
n
]
<
∞
Var
S
n
<
∞
Var[S_(n)] < oo \operatorname{Var}\left[S_{n}\right]<\infty
E
[
(
X
i
−
h
i
,
n
⋆
(
S
n
)
)
2
]
=
min
h
(
⋅
)
:
Var
[
h
(
S
n
)
]
<
∞
E
[
(
X
i
−
h
(
S
n
)
)
2
]
E
X
i
−
h
i
,
n
⋆
S
n
2
=
min
h
(
⋅
)
:
Var
h
S
n
<
∞
E
X
i
−
h
S
n
2
E[(X_(i)-h_(i,n)^(***)(S_(n)))^(2)]=min_(h(*):Var[h(S_(n))] < oo)E[(X_(i)-h(S_(n)))^(2)] \mathrm{E}\left[\left(X_{i}-h_{i, n}^{\star}\left(S_{n}\right)\right)^{2}\right]=\min _{h(\cdot): \operatorname{Var}\left[h\left(S_{n}\right)\right]<\infty} \mathrm{E}\left[\left(X_{i}-h\left(S_{n}\right)\right)^{2}\right] .
用语言来说，参与者
i
i
i i
h
i
,
n
⋆
(
S
n
)
h
i
,
n
⋆
S
n
h_(i,n)^(***)(S_(n)) h_{i, n}^{\star}\left(S_{n}\right)
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
h
(
S
n
)
h
S
n
h(S_(n)) h\left(S_{n}\right)
h
i
,
n
reg
h
i
,
n
reg
h_(i,n)^("reg ") h_{i, n}^{\text {reg }}
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star}
h
i
,
n
reg
h
i
,
n
reg
h_(i,n)^("reg ") h_{i, n}^{\text {reg }}
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star} 在
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star}
i
i
i i
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
S
n
S
n
S_(n) S_{n}
h
i
,
n
⋆
(
S
n
)
h
i
,
n
⋆
S
n
h_(i,n)^(***)(S_(n)) h_{i, n}^{\star}\left(S_{n}\right)
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star} 注意，函数
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star}
X
i
X
i
X_(i) X_{i}
n
n
n n
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star}
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star} 需要注意的是，条件均值风险分摊规则并不基于个体偏好，而仅仅是基于风险厌恶。这对于应用于 P2P 保险的情况非常重要，因为在 P2P 保险中，个体偏好难以获取。
2.4. 分享规则之间的关系 一般来说，条件均值风险分享
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star}
h
i
,
n
⋆
(
S
n
)
=
β
i
S
n
h
i
,
n
⋆
S
n
=
β
i
S
n
h_(i,n)^(***)(S_(n))=beta_(i)S_(n) h_{i, n}^{\star}\left(S_{n}\right)=\beta_{i} S_{n}
β
i
β
i
beta_(i) \beta_{i}
h
i
,
n
⋆
h
i
,
n
⋆
h_(i,n)^(***) h_{i, n}^{\star}