Линейная алгебра и аналитическая геометрия
线性代数与解析几何

Чайковский Дмитрий Александрович, Шаров Александр Николаевич, Мычка Евгений Юрьевич, Любавин Алексей Сергеевич
柴可夫斯基·德米特里·亚历山德罗维奇，沙罗夫·亚历山大·尼古拉耶维奇，梅奇卡·叶夫根尼·尤里耶维奇，柳巴温·阿列克谢·谢尔盖耶维奇

Совместный Университет МГУ-ППИ в Шэньчжэне факультет BMK
深圳北理莫斯科大学 BMK 系
02.2025-06.2025

Подмножество $L$$L$LL линейного пространства $V$$V$VV называется линейным подпространством, если оно является линейным пространством относительно тех же законов композиции в $V$$V$VV.
线性空间 $V$$V$VV 的子集 $L$$L$LL 若关于 $V$$V$VV 中相同的合成法则仍构成线性空间，则称其为线性子空间。

Линейная оболочка векторов $v_1,\dots ,v_k\in V$$v_1,\dots ,v_k\in V$v_(1),dots,v_(k)in Vv_{1}, \ldots, v_{k} \in V :
向量的线性张成空间 $v_1,\dots ,v_k\in V$$v_1,\dots ,v_k\in V$v_(1),dots,v_(k)in Vv_{1}, \ldots, v_{k} \in V ：

Каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой векторов своего базиса (пространство ‘натянуто’ на свой базис).
每个有限维空间都是其基向量的线性张成空间（空间由其基"张成"）。

Теорема. Если $v_1,\dots ,v_k\in V$$v_1,\dots ,v_k\in V$v_(1),dots,v_(k)in Vv_{1}, \ldots, v_{k} \in V, то $\mathcal{L}(v_1,\dots ,v_k)$$\mathcal{L}\left(v_1,\dots ,v_k\right)$L(v_(1),dots,v_(k))\mathcal{L}\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right) - линейное подпространство пространства $V$$V$VV.
定理。若 $v_1,\dots ,v_k\in V$$v_1,\dots ,v_k\in V$v_(1),dots,v_(k)in Vv_{1}, \ldots, v_{k} \in V ，则 $\mathcal{L}(v_1,\dots ,v_k)$$\mathcal{L}\left(v_1,\dots ,v_k\right)$L(v_(1),dots,v_(k))\mathcal{L}\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right) 是空间 $V$$V$VV 的线性子空间。

Пусть $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} - линейные подпространства пространства $V$$V$VV.
设 $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} 是空间 $V$$V$VV 的线性子空间。
Сумма подпространств $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} - это множество
子空间 $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} 的和是指集合

$x=x_1+\dots +x_k$$x=x_1+\dots +x_k$x=x_(1)+dots+x_(k)x=x_{1}+\ldots+x_{k} - разложение вектора $x$$x$xx по подпространствам $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k}.
$x=x_1+\dots +x_k$$x=x_1+\dots +x_k$x=x_(1)+dots+x_(k)x=x_{1}+\ldots+x_{k} - 向量 $x$$x$xx 在子空间 $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} 上的分解。
Сумма подпространств $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} линейного пространства $V$$V$VV называется прямой, если для любого ее вектора разложение по слагаемым подпространствам является единственным.
若线性空间 $V$$V$VV 的子空间 $L_1,\dots ,L_k$$L_1,\dots ,L_k$L_(1),dots,L_(k)L_{1}, \ldots, L_{k} 之和中，任意向量的子空间分量分解具有唯一性，则称该和为直和。
Обозначение: $L_1\oplus \dots \oplus L_k$$L_1\oplus \dots \oplus L_k$L_(1)o+dots o+L_(k)L_{1} \oplus \ldots \oplus L_{k}.  记作： $L_1\oplus \dots \oplus L_k$$L_1\oplus \dots \oplus L_k$L_(1)o+dots o+L_(k)L_{1} \oplus \ldots \oplus L_{k} 。
Подпространство $L_2$$L_2$L_(2)L_{2} линейного пространства $V$$V$VV называется дополнительным к $L_1$$L_1$L_(1)L_{1}, если $L_1\oplus L_2=V$$L_1\oplus L_2=V$L_(1)o+L_(2)=VL_{1} \oplus L_{2}=V.
若 $L_1\oplus L_2=V$$L_1\oplus L_2=V$L_(1)o+L_(2)=VL_{1} \oplus L_{2}=V ，则称线性空间 $V$$V$VV 的子空间 $L_2$$L_2$L_(2)L_{2} 是 $L_1$$L_1$L_(1)L_{1} 的补空间。
Обозначение: $L_1^{\delta }=L_2$$L_1^{\delta }=L_2$L_(1)^(delta)=L_(2)L_{1}^{\delta}=L_{2}.  标记： $L_1^{\delta }=L_2$$L_1^{\delta }=L_2$L_(1)^(delta)=L_(2)L_{1}^{\delta}=L_{2} 。
Теорема. $V=L_1\oplus L_2\iff \dim V=\dim L_1+\dim L_2$$V=L_1\oplus L_2\iff \dim V=\dim L_1+\dim L_2$V=L_(1)o+L_(2)<=>dim V=dimL_(1)+dimL_(2)V=L_{1} \oplus L_{2} \Leftrightarrow \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} L_{1}+\operatorname{dim} L_{2} и $L_1\cap L_2=\{\theta \}$$L_1\cap L_2=\{\theta \}$L_(1)nnL_(2)={theta}L_{1} \cap L_{2}=\{\theta\}.
定理。 $V=L_1\oplus L_2\iff \dim V=\dim L_1+\dim L_2$$V=L_1\oplus L_2\iff \dim V=\dim L_1+\dim L_2$V=L_(1)o+L_(2)<=>dim V=dimL_(1)+dimL_(2)V=L_{1} \oplus L_{2} \Leftrightarrow \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} L_{1}+\operatorname{dim} L_{2} 和 $L_1\cap L_2=\{\theta \}$$L_1\cap L_2=\{\theta \}$L_(1)nnL_(2)={theta}L_{1} \cap L_{2}=\{\theta\} 。

Домашнее задание:  家庭作业：
№№ 45.1-45.5, 45.16, 45.25-45.27, 45.33, 45.42 .
第 45.1-45.5 题，45.16 题，45.25-45.27 题，45.33 题，45.42 题。