这是用户在 2025-7-26 17:08 为 https://app.immersivetranslate.com/pdf-pro/717cbad3-b975-4346-83d6-48cd31411df7/ 保存的双语快照页面，由 沉浸式翻译 提供双语支持。了解如何保存？

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
线性代数与解析几何

Чайковский Дмитрий Александрович, Шаров Александр Николаевич, Мычка Евгений Юрьевич, Любавин Алексей Сергеевич
柴可夫斯基·德米特里·亚历山德罗维奇，沙罗夫·亚历山大·尼古拉耶维奇，梅奇卡·叶夫根尼·尤里耶维奇，柳巴温·阿列克谢·谢尔盖耶维奇
Совместный университет МГУ-ППИ в Шэньчжэне факультет BMK
深圳北理莫斯科大学 BMK 系
02.2025-06.2025

Линейное пространство над произвольным полем
任意域上的线性空间

Линейное пространство над полем P P PP- это непустое множество V V VV, на котором определены
域 P P PP 上的线性空间是一个非空集合 V V VV ，其上定义了
  • внутренний закон композиции: V × V → V V × V → V V xx V rarr VV \times V \rightarrow V(сложение ‘+’);
    内部合成法则： V × V → V V × V → V V xx V rarr VV \times V \rightarrow V （加法‘+’）；
  • внешний закон композиции: P × V → V P × V → V P xx V rarr VP \times V \rightarrow V(умножение на число из P ′ P ′ P^(')P{ }^{\prime}, ');
    外部合成法则： P × V → V P × V → V P xx V rarr VP \times V \rightarrow V （与 P ′ P ′ P^(')P{ }^{\prime} 中元素的数乘‘·’）；
которые удовлетворяют следующим аксиомам:
这些运算满足以下公理：
  1. a + b = b + a a + b = b + a a+b=b+aa+b=b+a;
  2. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c);
  3. ∃ θ ∈ V : a + θ = θ + a = a ∃ θ ∈ V : a + θ = θ + a = a EE theta in V:a+theta=theta+a=a\exists \theta \in V: a+\theta=\theta+a=a;
  4. ∀ a ∈ V ∃ ( − a ) ∈ V : a + ( − a ) = ( − a ) + a = θ ∀ a ∈ V ∃ ( − a ) ∈ V : a + ( − a ) = ( − a ) + a = θ AA a in V EE(-a)in V:a+(-a)=(-a)+a=theta\forall a \in V \exists(-a) \in V: a+(-a)=(-a)+a=\theta;
  5. 1 ⋅ a = a 1 ⋅ a = a 1*a=a1 \cdot a=a;
  6. α ( β a ) = ( α β ) a α ( β a ) = ( α β ) a alpha(beta a)=(alpha beta)a\alpha(\beta a)=(\alpha \beta) a;
  7. ( α + β ) a = α a + β a ( α + β ) a = α a + β a (alpha+beta)a=alpha a+beta a(\alpha+\beta) a=\alpha a+\beta a;
  8. α ( a + b ) = α a + α b α ( a + b ) = α a + α b alpha(a+b)=alpha a+alpha b\alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b, для любых a , b , c ∈ V , α , β ∈ P a , b , c ∈ V , α , β ∈ P a,b,c in V,quad alpha,beta in Pa, b, c \in V, \quad \alpha, \beta \in P.
    α ( a + b ) = α a + α b α ( a + b ) = α a + α b alpha(a+b)=alpha a+alpha b\alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b ，对于任意 a , b , c ∈ V , α , β ∈ P a , b , c ∈ V , α , β ∈ P a,b,c in V,quad alpha,beta in Pa, b, c \in V, \quad \alpha, \beta \in P 。

Линейное пространство над произвольным полем
任意域上的线性空间

Подмножество L L LLлинейного пространства V V VVназывается линейным подпространством, если оно является линейным пространством относительно тех же законов композиции в V V VV.
线性空间 V V VV 的子集 L L LL 若关于 V V VV 中相同的合成法则仍构成线性空间，则称其为线性子空间。
Пусть V V VV- линейное пространство над полем P P PP.Произвольные векторы e 1 , … , e n ∈ V e 1 , … , e n ∈ V e_(1),dots,e_(n)in Ve_{1}, \ldots, e_{n} \in V- это система векторов.
设 V V VV 是域 P P PP 上的线性空间，任意向量 e 1 , … , e n ∈ V e 1 , … , e n ∈ V e_(1),dots,e_(n)in Ve_{1}, \ldots, e_{n} \in V 构成一个向量系。
Для любых α 1 , … , α n ∈ P x = α 1 e 1 + … + α n e n − α 1 , … , α n ∈ P x = α 1 e 1 + … + α n e n − alpha_(1),dots,alpha_(n)in Px=alpha_(1)e_(1)+dots+alpha_(n)e_(n)-\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in P x=\alpha_{1} e_{1}+\ldots+\alpha_{n} e_{n}-линейная комбинация векторов e 1 , … , e n ; α 1 , … , α n e 1 , … , e n ; α 1 , … , α n e_(1),dots,e_(n);alpha_(1),dots,alpha_(n)e_{1}, \ldots, e_{n} ; \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}- коэффициенты линейной комбинации.
对于任意 α 1 , … , α n ∈ P x = α 1 e 1 + … + α n e n − α 1 , … , α n ∈ P x = α 1 e 1 + … + α n e n − alpha_(1),dots,alpha_(n)in Px=alpha_(1)e_(1)+dots+alpha_(n)e_(n)-\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in P x=\alpha_{1} e_{1}+\ldots+\alpha_{n} e_{n}- ，向量 e 1 , … , e n ; α 1 , … , α n e 1 , … , e n ; α 1 , … , α n e_(1),dots,e_(n);alpha_(1),dots,alpha_(n)e_{1}, \ldots, e_{n} ; \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} 的线性组合系数称为该线性组合的系数。
Конечная система векторов v 1 , … , v k v 1 , … , v k v_(1),dots,v_(k)v_{1}, \ldots, v_{k}линейного пространства V V VVназывается линейно зависимой, если
线性空间 V V VV 中的向量系 v 1 , … , v k v 1 , … , v k v_(1),dots,v_(k)v_{1}, \ldots, v_{k} 若满足
∃ α 1 , … , α k ∈ P : α 1 v 1 + … + α k v k = θ , | α 1 | 2 + … + | α k | 2 ≠ 0 ∃ α 1 , … , α k ∈ P : α 1 v 1 + … + α k v k = θ , α 1 2 + … + α k 2 ≠ 0 EEalpha_(1),dots,alpha_(k)in P:alpha_(1)v_(1)+dots+alpha_(k)v_(k)=theta,|alpha_(1)|^(2)+dots+|alpha_(k)|^(2)!=0\exists \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k} \in P: \alpha_{1} v_{1}+\ldots+\alpha_{k} v_{k}=\theta,\left|\alpha_{1}\right|^{2}+\ldots+\left|\alpha_{k}\right|^{2} \neq 0
В противном случае система векторов называется линейно независимой.
否则该向量系统被称为线性无关。
Теорема.Система векторов v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n}линейно зависима ⇔ ⇔ <=>\Leftrightarrow
定理。向量系统 v 1 , … , v n v 1 , … , v n v_(1),dots,v_(n)v_{1}, \ldots, v_{n} 线性相关 ⇔ ⇔ <=>\Leftrightarrow
∃ i ∗ = 1 , n ― : v i ∗ = ∑ j ≠ i ∗ α j v j , для некоторых α j ∈ P . ∃ i ∗ = 1 , n ¯ : v i ∗ = ∑ j ≠ i ∗   α j v j ,  для некоторых  α j ∈ P .  EEi^(**)= bar(1,n):v_(i^(**))=sum_(j!=i^(**))alpha_(j)v_(j)," для некоторых "alpha_(j)in P". "\exists i^{*}=\overline{1, n}: v_{i^{*}}=\sum_{j \neq i^{*}} \alpha_{j} v_{j}, \text { для некоторых } \alpha_{j} \in P \text {. }длянекоторых

Линейное пространство над произвольным полем
任意域上的线性空间

Базис пространства V V VV- это упорядоченная система векторов e 1 , … , e n e 1 , … , e n e_(1),dots,e_(n)e_{1}, \ldots, e_{n}, которая линейно независима и порождает V V VV, то есть
空间 V V VV 的基是一组有序向量 e 1 , … , e n e 1 , … , e n e_(1),dots,e_(n)e_{1}, \ldots, e_{n} ，这组向量线性无关且能生成 V V VV ，即
∀ v ∈ V ∃ α 1 , … , α n ∈ P : α 1 e 1 + … + α n e n = v ∀ v ∈ V ∃ α 1 , … , α n ∈ P : α 1 e 1 + … + α n e n = v AA v in V EEalpha_(1),dots,alpha_(n)in P:alpha_(1)e_(1)+dots+alpha_(n)e_(n)=v\forall v \in V \exists \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in P: \alpha_{1} e_{1}+\ldots+\alpha_{n} e_{n}=v
Теорема.Любые два базиса линейного пространства состоят из одинакового числа векторов.
定理：任意两个线性空间的基都由相同数量的向量组成。
Число векторов базиса линейного пространства - это размерность пространства V V VV.
线性空间基中向量的数量称为空间 V V VV 的维数。
选择：
否否 44.19 , 44.59 , 44.62 , 44.66 , 44.67 , 44.73 , 44.75 , 44.7 , 44.8 44.19 , 44.59 , 44.62 , 44.66 , 44.67 , 44.73 , 44.75 , 44.7 , 44.8 44.19,44.59,44.62,44.66,44.67,44.73,44.75,44.7,44.844.19,44.59,44.62,44.66,44.67,44.73,44.75,44.7,44.8, 44.15, 44.18, 44.19, 44.80.