अर्धसमूह, समूह: परिभाषा, प्राथमिक गुण और उदाहरण सहित V_(4),Q_(6),D_(8),Z_(m),U_(m)\mathrm{V}_{4}, \mathrm{Q}_{6}, \mathrm{D}_{8}, \mathrm{Z}_{\mathrm{m}}, \mathrm{U}_{\mathrm{m}} , नियमित एन-गों की समरूपता का समूह, मैट्रिक्स समूह और (उदाहरण) की कठोर गति का R^(n)\mathrm{R}^{\mathrm{n}} समूह। होमोमोर्फिज्म आइसोमोर्फिज्म, (ऊपर दिए गए समूहों के बीच होमोमोर्फिज्म निर्धारित करने के लिए)। एक सबसेट, चक्रीय समूहों, एक तत्व के क्रम द्वारा उत्पन्न उपसमूह। चक्रीय समूहों का वर्गीकरण, उपरोक्त समूहों के उपसमूह, ऑटोमोर्फिम्स का समूह, एक समूह का केंद्र, कोसेट अपघटन, लैग्रेंज प्रमेय और संख्या सिद्धांत के अनुप्रयोग, (यूलर प्रमेय, फर्मेट प्रमेय और विल्सन प्रमेय)।
यूनिट - 2:
समूहों का गुणन, सामान्य उपसमूह, भागफल समूह, पत्राचार प्रमेय, होमोमोर्फिम्स का मौलिक प्रमेय, 1^("st ")1^{\text {st }} और 2^("nd ")2^{\text {nd }} आइसोमोर्फिज्म प्रमेय और उनके अनुप्रयोग, कम्यूटेटर उपसमूह, एबेलियनाइज़र।
सममित समूह, एक सममित समूह के रूप में और एक ऑर्थोगोनल समूह के रूप में एक परिमित समूह का प्रतिनिधित्व, चक्र और स्थानांतरण, क्रमपरिवर्तन का अपघटन, अल्टेमेटिंग मानचित्र, सम और विषम क्रमपरिवर्तन, अल्टरमेटिंग समूह, एस के सामान्य उपसमूह।
यूनिट - 3:
समूह की कार्रवाई: नियमित और आंतरिक संयुग्मन कार्रवाई, कक्षाएँ और आइसोट्रॉपी समूहों सहित परिभाषा और उदाहरण। आंतरिक संयुग्मन, कोजुगेसी वर्गों और केंद्रीयकरण, उपसमूहों के सामान्यीकरण और संयुग्मन वर्ग, प्राइम पावर ऑर्डर समूहों और इसके केंद्र के विशेष संदर्भ के साथ वर्ग सूत्र गैर-तुच्छ, आदेश p^(2)\mathrm{p}^{2} के समूहों की एबेलियन संपत्ति, आदेश p^(2)\mathrm{p}^{2} का वर्गीकरण, 8 तक आदेश के समूहों का वर्गीकरण।
यूनिट - 4:
रिंग्स, सबरिंग्स, होमोमोर्फिम्स, रिंग्स Z_(m),Z[i],Z[w]\mathrm{Z}_{\mathrm{m}}, \mathrm{Z}[\mathrm{i}], \mathrm{Z}[\mathrm{w}] , मैट्रिक्स रिंग्स, क्वाटरनियन रिंग्स, आइडियल्स, भागफल के छल्ले, होमोर्फिज्म के मौलिक प्रमेय, पत्राचार प्रमेय, इंटीग्रल डोमेन, एक अभिन्न डोमेन की विशेषता, डिवीजन रिंग और फील्ड्स, एक कम्यूटेटिव इंटीग्रल डोमेन के अंशों का क्षेत्र, पहचान के साथ कम्यूटेटिव रिंग पर बहुपद रिंग, और क्षेत्रों पर, विभाजन एल्गोरिथ्म, शेष और कारक प्रमेय, के F[X]\mathrm{F}[\mathrm{X}] आदर्श।
यूनिट - 5:
रैखिक सर्वांगसमता और रैखिक सर्वांगसमता के समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म, इकाइयों का Z_(m)\mathrm{Z}_{\mathrm{m}} समूह, चीनी शेष प्रमेय, द्विघात अवशेष, यूलर की कसौटी, लीजेंड्रे प्रतीक, गॉस का द्विघात पारस्परिकता प्रमेय यूलर के फी फ़ंक्शन की गुणनात्मकता, विभाजक फ़ंक्शन, भाजक फ़ंक्शन और मोबियस फ़ंक्शंस, मोबियस उलटा प्रमेय और इसके कुछ अनुप्रयोगों का योग।
डेविड एम. बर्टन: एलिमेंटरी नंबर थ्योरी, टाटा मैकग्राहिल पब्लिशिंग कंपनी लिमिटेड, नई दिल्ली 2007.
आई. निवेन, एच. एस. ज़करमैन, एच. एल. मोंटगोमरी: द थ्योरी ऑफ़ नंबर्स, जॉन विले एंड संस, भारत, 2000.
पेपर - II
उन्नत विश्लेषण
इकाई - 1: सीमाएँ और निरंतरता
मीट्रिक रिक्त स्थान, निरंतरता, खुले सेट, बंद सेट और क्लोजर के संदर्भ में निरंतरता का चरराइजेशन, रैखिक परिवर्तनों और आंतरिक उत्पाद फ़ंक्शन की निरंतरता के बीच एक फ़ंक्शन की सीमाएं। यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच कार्यों से उदाहरण, दोहराया सीमाएं।
कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान, कुल सीमा। अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस, लेबेग कवरिंग लेम्मा, यूनिफ़ॉर्म निरंतरता, निरंतर मानचित्रों के तहत कॉम्पैक्टनेस का संरक्षण, मीट्रिक रिक्त स्थान की पूर्णता।
यूनिट-2:
इकाई - 3: आंशिक विभेदन के अनुप्रयोग
सजातीय कार्य और यूलर का प्रमेय, मिश्रित डेरिवेटिव की समानता, यंग और श्वार्ज प्रमेय, उच्च अंतर, टेलर का प्रमेय, मैक्सिमा और मिनिमा और मिनिमा कई चर आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों के वास्तविक मूल्यवान कार्यों के लिए सैडल पॉइंट, लैग्रेंज के गुणक।
Jacbian मैट्रिक्स और निर्धारक, निहित फ़ंक्शन प्रमेय (केवल IR ^(2)rarr^{2} \rightarrow IR के लिए ff प्रमाण), व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय (केवल कथन), फ़ंक्शन निर्भरता।
यूनिट - 4: एकसमान अभिसरण
अनुक्रमों और कार्यों की श्रृंखला का बिंदुवार और समान अभिसरण, आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां, (कॉची की कसौटी), वीयरस्ट्रास एबेल और डिरिचलेट का समान अभिसरण के लिए परीक्षण, शब्द एकीकरण और अनंत अनुक्रमों का भेदभाव और कार्यों की श्रृंखला।
शक्ति श्रृंखला, अभिसरण का अंतराल, शक्ति श्रृंखला का समान अभिसरण, हाबिल की सीमा प्रमेय, टेलर और